Základy vysokoškolské matematiky pro beznadějné případy - Mach
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
0
x skutečně dosadit nulu
10. Proto platí:
∑
∞
=
=
0
)
(
!
)
0
(
)
(
k
k
k
x
k
f
x
f
Z toho plyne pozoruhodný poznatek: Každou analytickou funkci lze definovat nekonečnou
řadou. Například funkci sinus můžeme rozepsat takto:
...
!
11
1
!
9
1
!
7
1
!
5
1
!
3
1
)
sin(
11
9
7
5
3
+
−
+
−
+
−
=
x
x
x
x
x
x
x
10 Pro
0
0 =
x
se Taylorova řada nazývá Maclaurinova řada.
86
7.4 Logické odvození Taylorova polynomu
Nyní, když jsme si ukázali, jak Taylorův polynom správně používat, může se
mnohý zvídavý čtenář začít zabývat otázkou, jak vlastně pan Taylor tak chytrou věc
objevil. Ačkoliv to může znít překvapivě, osobně se domnívám, že v této fázi je již čtenář
schopen pochopit logické odvození Taylorova polynomu. Pomoci mu v tom má tato
kapitola.
Obecný cíl
Pan Taylor si vzal za cíl najít výraz obsahující proměnnou x , který by obsahoval
pouze sčítání a násobení a který by měl jakožto funkce stejnou funkční hodnotu pro x ,
jako má původní funkce f . Připomeňme si středoškolskou poučku, že výraz obsahující
jen sčítání a násobení (násobení se samozřejmě může projevit také jako mocnina) se
nazývá polynom. Tak třeba polynomem je výraz:
4
8
2
2
3
+
+
+
x
x
x
Někdy bývá zvykem zapisovat polynom od nejvyššího řádu (mocniny) proměnné x
směrem k nejmenšímu tak, jak je to uvedené na našem příkladě. Dohodněme se však
nyní, že zde budeme pro lepší přehlednost zapisovat polynomy v opačném pořadí členů,
tedy výše uvedený polynom zapíšeme takto: