Základy vysokoškolské matematiky pro beznadějné případy - Mach

Taylorův 

polynom. 

Bude-li 

vytvořena 

rozšířením 

funkce 

)

).(

(

'

)

(

)

(

0

0

0

x

x

x

f

x

f

x

g

−

+

=

 o dostatečné množství dalších speciálních členů, bude mít 

v okolí bodu 

0

x   průběh  velmi  podobný původní funkci 

f . Důležité je naučit se v tomto 

kontextu používat sloveso konvergovat – korektně říkáme, že funkce  g  v okolí bodu 

0

x   konverguje  k původní  funkci 

f   (konvergence  znamená  sbíhavost).  Čím  více 

dodatečných  speciálních  členů  přičteme,  tím  delší  bude  interval,  v němž  bude  takto 
vzniklá  funkce  konvergovat  k funkci  původní.  Proto  bude  Taylorův  polynom  jakožto 
funkce  schopen  velmi  dobře  nahradit  funkci  původní  při  numerických  výpočtech,  neboť 
její funkční hodnota pro  x  bude velmi blízká funkční hodnotě původní funkce. 

9  Brook  Taylor  (1685-1731),  anglický  matematik.  Zabýval  se  zejména  využitím  teorie  řad  v matematické 
analýze. 

81

Pro  srovnání  si  znázorněme,  jak  graficky  vypadají  dvě  různá  numerická  řešení 

úlohy, jejíž zadání nám posloužilo jako vzorový příklad v předchozí kapitole. Úkolem bylo 
vypočíst  přibližné  numerické  řešení  hodnoty 

)

3

sin(

.  První  uvedené  řešení,  známé  již 

z předchozí kapitoly, je řešení pomocí diferenciálu, kdy náhražková funkce má tvar tečny 
k funkci  f   v bodě 

0

x .  Druhé  řešení  je  takové,  kdy  je  jako  náhražková  funkce  použit 

Taylorův  polynom.  Obě  situace  jsou  znázorněny  v následujících  dvou  grafech, 
vytvořených kapesní matematickou laboratoří: