Základy vysokoškolské matematiky pro beznadějné případy - Mach
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
grafem náhražkové funkce g je zde přímka, může tato funkce s dostatečnou
přesností nahradit původní funkci f jen v takovém omezeném okolí bodu
0
x , v
němž má původní funkce průběh podobný této přímce. Stačí však, aby křivka
původní funkce f byla v okolí bodu
0
x více zakřivená, a tečna k ní rázem bude očividně
přiléhat jen bodě
0
x , takže metoda diferenciálu nám bude poskytovat výsledky velmi
nepřesné, ne-li úplně zcestné.
Logická otázka tedy zní: Nešla by náhražková funkce g nějak upravit tak,
aby svým zakřivením lépe kopírovala průběh původní funkce f ? Tuto otázku si už
před zhruba třemi sty lety položil anglický génius Brook Taylor9. Za svůj (bohužel krátký)
život stačil dokázat pozoruhodný objev, který má dodnes v matematice dalekosáhlý a
nenahraditelný význam.
Pan Taylor vyšel z nám již známé metody výpočtu pomocí diferenciálu, kdy
náhražkovou
funkcí
je
tečna
k funkci
původní
a
má
obecný
tvar
)
).(
(
'
)
(
)
(
0
0
0
x
x
x
f
x
f
x
g
−
+
=
.
Zjistil,
že
pokud
tuto
náhražkovou
funkci
)
).(
(
'
)
(
)
(
0
0
0
x
x
x
f
x
f
x
g
−
+
=
dodatečně upraví tím, že ji rozšíří přičítáním
speciálních dalších členů, bude se křivka takto upravované funkce v okolí bodu
0
x s každým dalším přičteným členem stále věrněji tvarovat podle původní
funkce f . Náhražková funkce, která takovou úpravou vznikne, se po svém objeviteli
jmenuje