Základy vysokoškolské matematiky pro beznadějné případy - Mach
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
Graf 1. – numerické řešení pomocí diferenciálu. Náhražkovou
funkcí je
)
).(
(
'
)
(
)
(
0
0
0
x
x
x
f
x
f
x
g
−
+
=
, jejímž grafem je tečna
k původní funkci
)
sin(x v bodě
π
=
0
x
. Z obrázku je patrné, že
rozsah, v němž tato funkce konverguje k původní funkci, je
značně omezený.
Graf 2. – numerické řešení pomocí Taylorova polynomu. Jako
náhražková funkce je použit Taylorův polynom. Křivka této
funkce konverguje k původní funkci mnohem lépe a
v podstatně větším rozsahu, než tečna použitá k výpočtu
pomocí diferenciálu. Proto je Taylorův polynom schopen
poskytnout v roli náhražkové funkce podstatně vyšší přesnost.
Abychom tedy mohli získávat vysoce přesná numerická řešení funkčních hodnot
rozmanitých funkcí, musíme použít numerických metod výpočtů, které spočívají
ve vytvoření takové náhražkové funkce g , která bude k funkci f v okolí bodu
0
x co
nejlépe konvergovat. Je matematicky dokázáno, že takovou funkcí je právě Taylorův
polynom. Jak již lze očekávat, cílem této kapitoly je vysvětlit, jak vytvořit Taylorův
polynom konvergující k funkci f , budeme-li mít k dispozici původní funkci f a vhodně
zvolené číslo
0
x .
Taylorův polynom má obecně tento zápis:
k
n
k
k
x
x
k
x
f
)
(
!
)
(
0
0
0
)
(
−
∑
=
Pokud má čtenář s podobnými typy matematických zápisů málo zkušeností,
možná v něm pohled na výše uvedený vzorec vyvolá směs různých neblahých pocitů,
zdrženlivostí počínaje a obavami konče. Abychom seznali, že jakýkoliv pesimismus je
zcela zbytečný, rozeberme si nyní vzorec tak, abychom jej byli schopni používat
s náležitou lehkostí.