BMA2 - Sbírka
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
bodě z2 = 1 pól druhého řádu.
Pro n = 0, 1, 2, . . . : y(n) = Z−
1{Y (z)} = res
z
=−2
zn
(z − 1)2(z + 2)
+
+ res
z
=1
zn
(z − 1)2(z + 2)
= lim
z
→−2
zn
(z − 1)2
+ lim
z
→1
zn
z
+ 2
′
=
=
1
9
(−2)
n + lim
z
→1
nzn−1
(z + 2) − zn
(z + 2)2
=
1
9
(−2)
n +
3n − 1
9
=
(−2)n + 3n − 1
9
.
d) Z{y(n + 2)} = z
2Y (z); Z{n2n)} =
2z
(z − 2)2
;
Z{2
n)} =
z
z
− 2
;
Rovnice pro Y (z) je Y (z)(z − 1) =
2z
(z − 2)2
−
z
z
− 2
=
2z − z2 + 2z
(z − 2)2
.
Z toho Y (z) =
4z − z2
(z − 2)2(z − 1)
,
a Y (z) zn−1 =
zn
(4 − z)
(z − 2)2(z − 1)
.
Tato funkce má v z1 = 1 pól prvního řádu a v bodě z2 = 2 pól druhého řádu.
Pro n = 0, 1, 2, . . . : y(n) = Z−
1{Y (z)} = res
z
=1
zn
(4 − z)
(z − 2)2(z − 1)
+
+ res
z
=2
zn
(4 − z)
(z − 2)2(z − 1)
= lim
z
→1
zn
(4 − z)
(z − 2)2
+ lim
z
→2
zn
(4 − z)
z
− 1
′
=
= 3+lim
z
→2
(nzn−1(4 − z) − zn)(z − 1) − zn(4 − z)
(z − 1)2
= 3+
2n2n−1 − 2n − 2 · 2n
1
=
= 3 + 2n(n − 3).
e) Z{y(n)} = Y (z); Z{y(n + 1)} = zY (z) − z;
Z{y(n + 2)} = z
2Y (z) − z2 − 4z.
Po dosazení do rovnice a po úpravě dostaneme Y (z) =
z2
(z − 2)2
.
Funkce Y (z) zn−1 =
zn+1
(z − 2)2
má v bodě z1 = 2 pól druhého řádu.
82
Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
Pro n = 0, 1, 2, . . . : y(n) = Z−
1{Y (z)} = res
z
=2
zn+1
(z − 2)2
= lim
z
→2
z
n
+1′ =
= lim
z
→2
(n + 1) zn = (n + 1) 2n,
n
= 0, 1, 2, . . . .
f) y(n) =
1
2
(3n + 1) − 2
n,
n
= 0, 1, 2, . . . ;
g) y(n) =
1
2
3n−1 +
1
2
(−3)