BMA2 - Sbírka
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
F
(z) =
∞
X
n
=0
f
(n) z−n = f(0) +
f
(1)
z
+
f
(2)
z2
+ . . .
a nazýváme jí Z-transformace posloupnosti {f(n)}∞
n
=0.
Značíme Z{f(n)} = F (z).
Vlastnosti Z-transformace:
1. Řada Z{f(n)} konverguje pro |z| > R, kde R = limn→∞ n
p|f(n)|.
2. Řada se dá derivovat a integrovat člen po členu pro |z| > R.
3. F (z) je holomorfní pro |z| > R.
4. Z-transformace je lineární, tj.
Z{a f(n) + b g(n)} = a Z{f(n)} + b Z{g(n)}, a, b ∈ C.
Příklad 9.1.1. Určete obraz posloupnosti f(n) = 1 pro n = 0, 1, 2, . . .
Řešení: Podle definice
Z{f(n)} =
∞
X
n
=0
z−
n = 1 +
1
z
+
1
z2
+ . . . =
1
1 − 1
z
=
z
z
− 1
.
Tato řada konverguje pro |1
z | < 1, tedy pro |z| > 1.
MATEMATIKA 2 – Sbírka úloh
77
Pro určení obrazů některých vybraných posloupností můžeme použít následující ta-
bulku:
Číslo vzorce
f
(n), n = 0, 1, 2, . . .
Z{f(n)} = F (z) =
∞
X
n
=0
f
(n)z−n
1.
1
z
z
− 1
2.
an
z
z
− a
3.
n
z
(z − 1)2
4.
n2
z
(z + 1)
(z − 1)3
5.
nan
az
(z − a)2
6.
n2an
az
(z + a)
(z − a)3
7.
cos ωn
z
(z − cos ω)
z2
− 2z cos ω + 1
8.
sin ωn
z
sin ω
z2
− 2z cos ω + 1
9.
δ0(n)
1
10.
δm(n)
z−
m
11.
f
(n + 1)
zF
(z) − zf(0)
12.
f
(n + 2)
z2F
(z) − z2f(0) − zf(1)
13.
f
(n + k)
z
kF (z) − Σ
k
−1
j
=0 f (j)z
k
−j
14.
f
(n − k)
z−kF
(z)
Základní slovník a gramatika Z-transformace
78
Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
9.2
Zpětná Z-transformace
Zobrazení, které každému obrazu F (z) přiřazuje jeho předmět f(n) se nazývá zpětná
Z-transformace
a značí se symbolem Z−1{F (z)}.
Při hledání předmětu použijeme následující vzorec.
Nechť funkce F (z) je holomorfní kromě konečného počtu svých singulárních bodů a
lim
z
→∞
F
(z) je konečná, pak pro zpětnou Z-transformaci F (z) platí vzorec