BMA2 - Sbírka
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
4 =
π
2 .
bn =
1
2
Z
2
−2
f ∗∗
(t) sin
nπt
2
dt =
Z
2
0
(1 − t) sin
nπt
2
dt = [ metoda per partes]
=
−2(1 − t)
nπ
cos
nπt
2
2
0
−
2
πn
Z
2
0
cos
nπt
2
dt =
2
πn
((−1)
n + 1) − 0 =
=
(
0 pro n = 2k − 1,
4
πn
pro n = 2k.
Dostali jsme sinovou Fourierovu řadu funkce pro t ∈ h0, 2i:
1−t =
∞
X
k
=1
4
2kπ
sin
2kπt
2
=
∞
X
k
=1
2
kπ
sin kπt
=
2
π
sin πt +
1
π
sin 2πt + . . ..
MATEMATIKA 2 – Sbírka úloh
75
Příklad 8.1.5. Najděte kosinovou Fourierovu řadu funkce f(t)
a
) f(t) = 1 + t;
t
∈ h0, πi
b
) f(t) =
π
4 −
t
2
;
t
∈ h0, πi
c
) f(t) = t2;
t
∈ h0, πi
d
) f(t) = t3;
t
∈ h0, πi
Řešení:
a) f(t) = 1 +
π
2
+
∞
X
k
=1
−4
π
(2k − 1)2
cos (2k − 1)t
b) f(t) =
2
π
∞
X
k
=1
cos(2k − 1)t
(2k − 1)2
;
c) f(t) =
π2
3
+ 4
∞
X
n
=1
(−1)n
n2
cos nt;
d) f(t) =
π3
4
+ 6π
∞
X
n
=1
(−1)n
n2
cos nt.
Příklad 8.1.6. Najděte sinovou Fourierovu řadu funkce f(t)
a
) f(t) = 1 + t;
t
∈ h0, πi
b
) f(t) =
π
4 −
t
2
;
t
∈ h0, πi
c
) f(t) = t2;
t
∈ h0, πi
d
) f(t) = t3;
t
∈ h0, πi
Řešení:
a) f(t) =
∞
X
n
=1
2(−1)n
n
+
2(1 − (−1)n)
πn
sin nt;
b) f(t) =
∞
X
n
=1
sin 2nt
2n
;
c) f(t) =
2
π
∞
X
n
=1
(−1)
n
+1
2
n2
+
2
n3
[(−1)
n − 1]
sin nt;
d) f(t) = 2π2
∞
X
n
=1
(−1)n−1
n
+ 12
(−1)n
n3
sin nt.
76
Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
STUDIJNÍ JEDNOTKA
Z - TRANSFORMACE
Cíle studijní jednotky.
V této části se seznámíte se Z-transformací komplexní posloup-
ností. Uvedeme tabulku, která usnadní hledání obrazů mnoha posloupnosti. Pro zpětnou
Z-transformací uvedeme pouze metodu, která využívá reziduovou větu. V poslední části
je uvedená aplikace Z-transformace na řešení diferenčních rovnic.
9
Z-transformace
9.1
Definice a vlastnosti Z-transformace
Nechť f : N → C je komplexní posloupnost. Definujeme funkci F (z) jako součet řady