BMA2 - Sbírka
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
a0 =
1
π
Z
π
−π
f
(t) dt =
2
π
Z
π
0
t2
dt =
2
π
t3
3
π
0
=
2
3
π2,
an =
1
π
Z
π
−π
f
(t) cos nt dt =
2
π
Z
π
0
t2
cos nt dt = [ metoda per partes]
=
2
π
t2
sin nt
n
π
0
−
2
π
Z
π
0
2t sin nt
n
dt = −
4
πn
Z
π
0
t
sin nt dt = [per partes]
=
4
πn2
[t cos nt]
π
0 =
4π cos nπ
πn2
=
4(−1)n
n2
.
Dostali jsme, že pro t ∈ h−π, πi
t2
=
π2
3
+
∞
X
n
=1
4(−1)n
n2
cos nt
=
π2
3 −
4 cos t + cos 2t −
4
9
cos 3t + . . ..
72
Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
d) Funkce f(t) je spojitá a není sudá ani lichá.
T
= 2π a ω = 1. Koeficienty spočítáme podle vzorců:
a0 =
1
π
Z
π
−π
f
(t) dt =
1
π
Z
0
−π
0 dt +
1
π
Z
π
0
t
dt =
1
π
t2
2
π
0
=
π
2
,
an =
1
π
Z
π
−π
f
(t) cos nt dt =
1
π
Z
π
0
t
cos nt dt = [ metoda per partes]
=
1
π
t
sin nt
n
π
0
−
1
π
Z
π
0
sin nt
n
dt =
1
πn2
[cos nt]
π
0 =
(
0
pro n = 2k,
−2
πn2
pro n = 2k − 1.
bn =
1
π
Z
π
−π
f
(t) sin nt dt =
1
π
Z
π
0
t
sin nt dt = [ metoda per partes]
=
1
π
−t cos nt
n
π
0
+
1
π
Z
π
−π
cos nt
n
dt = −
cos nπ
n
=
(
−1
n
pro n = 2k,
1
n
pro n = 2k − 1.
Dosadíme do vzorce pro Fourierovu řadu a dostaneme, že pro t ∈ h−π, πi
f
(t) =
π
4
+
∞
X
n
=1
(−1)n − 1
πn2
cos nt +
(−1)n+1
n
sin nt
.
Příklad 8.1.2. Najděte Fourierovu řadu pro napětí tvořené sledem obdélníkových impulsů
podle obrázku:
6
0
U0
t0
2
L
2
2L
L
f
(t) :
Řešení: Funkce je sudá a po částech hladká, a proto existuje Fourierův rozvoj
funkce v kosinovou řadu. Potom bn = 0. Perioda funkce T = L a ω =
2π
L
.
Koeficienty an spočítáme podle vzorce:
a0 =
4
L
Z
L
2
0
f
(t) dt =
4
L
Z
t0
2
0
U0 dt =
2U0t0
L
,
MATEMATIKA 2 – Sbírka úloh
73
an =
4
L
Z
L
2
0
f
(t) cos
2nπt
L
dt =
4
L
Z
t0
2
0
U0 cos
2nπt
L
dt =
=
4U0
L
L
sin 2nπt
L
2nπ
t0
2
0
=
4U0
L
L
sin 2nπt0
2L
2nπ
=
2U0
nπ
sin
nπt0
L
.
Získané koeficienty dosadíme do vzorce pro Fourierovou řadu a dostaneme, že
pro t ∈ R