BMA2 - Sbírka

2 + 4p + 8) = 1,

Y

(p) =

1

p2

+ 4p + 8

=

1

(p + 2)2 + 4

,

y

(t) =

1
2

e−2

t sin 2t.

d) y = (t + 3t2) e6t;

e) y = e3t + te3t;

f) y = 3

4 e

2t

+ 1

4 e

−2t − t;

g) y = 2te−t + tet − et + e−2t.

64

Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně

Příklad 7.3.2. Laplaceovou transformací řešte následující integrálně diferenciální rovnice

a

) y′ + 2y + 2

Z

t

0

y

(s) ds = 1, y(0) = 0

b

) y′ + 2y + 5

Z

t

0

y

(s) ds = 2, y(0) = 1

Řešení:
a) L{y(t)} = Y (p); L{y′(t)} = pY (p); L

Z

t

0

y

(s) ds

=

1
p

Y

(p); L{1} =

1
p

.

Dostali jsme rovnici pY (p) + 2Y (p) +

2
p

Y

(p) =

1
p

,

z které vyjádříme Y (p).

Máme Y (p) =

1

p2

+ 2p + 2

=

1

(p + 1)2 + 1

.

Potom y(t) = e−t sin t.

b) L{y′(t)} = pY (p) − 1; L

Z

t

0

y

(s) ds

=

1
p

Y

(p); L{1} =

1
p

.

Řešíme algebraickou rovnici pY (p) − 1 + 2Y (p) +

5
p

Y

(p) =

2
p

.

Z toho Y (p) =

2 + p

p2

+ 2p + 5

=

p

+ 1 + 1

(p + 1)2 + 4

=

p

+ 1

(p + 1)2 + 4

+

1
2 ·

2

(p + 1)2 + 4

.

Potom y(t) = e−t cos 2t +

1
2

e−

t sin 2t.

Příklad 7.3.3. Najděte proudovou odezvu v jednoduchém RLC obvodu, kde odpor resis-
toru je R = 20 Ω, samoindukce cívky je L = 0,1 H, kapacita kondenzátoru je C = 1 µF =
10−6 F a napětí U = 100 V. Počáteční proud je i(0) = 0.

Řešení:

Proud v obvodu splňuje integrálně diferenciální rovnici

R i

(t) + L i ′(t) +

1

C

Z

t

0

i

(s) ds = U, i(0) = 0.

Dosadíme do rovnice za R, L, C a U. Vzniklou rovnici budeme řešit pomocí

Laplaceovy transformace: 20 i(t) + 0,1 i ′(t) + 106

Z

t

0

i

(s) ds = 100, i(0) = 0.

20 I(p) + 0,1 p I(p) +

106

p

I

(p) =

100

p

.

Vyjádříme I(p): I(p) =

100