BMA2 - Sbírka

Nechť funkce f : R → R splňuje následující podmínky:

1. funkce f(t) je po částech spojitá,

2. funkce f(t) = 0 pro t < 0,

3. funkce f(t) je exponenciálního řádu, tzn. existují konstanty M, s, t0 ∈ R, M, t0 > 0,

takové, že pro všechna t ≥ t0 platí |f(t)| ≤ Mest.

Potom definujeme funkci komplexní proměnné

F

(p) =

Z

∞

0

f

(t) e−pt dt

a říkáme ji Laplaceova transformace funkce f(t). Značíme L{f(t)} = F (p).
Funkce f(t), která splňuje podmínky 1., 2., 3. se nazývá předmět a funkce F (p) se
nazývá obraz funkce f(t).

Budeme předpokládat, že podmínka 2. je automaticky splňená.
Např. výrazem L{et} rozumíme obraz funkce f(t) = 0 pro t < 0 a f(t) = et pro t ≥ 0.
Laplaceova transformace je lineární:

L{a f(t) + b g(t)} = a L{f(t)} + b L{g(t)}, a, b ∈ C.

MATEMATIKA 2 – Sbírka úloh

57

Základní slovník a gramatika Laplaceovy transformace

Číslo vzorce

f

(t)

L{f(t)} = F (p) =

Z

∞

0

f

(t)e−pt dt

1.

c

c

p

2.

tn, n

∈ N

n

!

pn+1

3.

eat

1

p

− a

4.

tneat, n

∈ N

n

!

(p − a)n+1

5.

cos ωt

p

p2

+ ω2

6.

sin ωt

ω

p2

+ ω2

7.

eat

cos ωt

p

− a

(p − a)2 + ω2

8.

eat

sin ωt

ω

(p − a)2 + ω2

9.

f ′

(t)

pF

(p) − f(0)

10.

f ′′

(t)

p2F

(p) − pf(0) − f′(0)

11.

f ′′′

(t)

p3F

(p) − p2f(0) − pf′(0) − f′′(0)

12.

f (n)

(t)

pnF

(p) − pn−1f(0) − pn−2f′(0) − . . . − f(n−1)(0)

13.

R

t

0 f (u) du

F

(p)
p

14.

f

(t − a), a ≥ 0

e−apF

(p)

58

Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně

Příklad 7.1.1. Přímým výpočtem určete obraz funkce f(t) = t.

Řešení: Budeme hledat obraz funkce

f

(t) =

* t pro t ≥ 0,

0 pro t < 0.

Tato funkce je spojitá, její derivace je po částech spojitá (f′(t) = 0 pro t < 0
a f′(t) = 1 pro t > 0) a splňuje podmínku 2. Zbývá ověřit 3. podmínku.
Platí, že t < et pro t ≥ 0. Daná funkce je vzorem Laplaceovy transformace.