BMA2 - Sbírka
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
na součet geometrické řady raději než výpočet jednotlivých koeficientů pomocí křivkového
integrálu, jak jsme to uvedli v definici. Je to mnohem rychlejší a přehlednější. Zopakujme
si proto geometrickou řadu.
MATEMATIKA 2 – Sbírka úloh
51
Posloupnost {an}∞
n
=1 = {a0q
n}∞
n
=0 se nazývá geometrická posloupnost.
Je-li |q] > 1, geometrická řada
∞
X
n
=0
a0q
n diverguje.
Je-li |q| < 1, je geometrická řada konvergentní a
∞
X
n
=0
a0q
n =
a0
1 − q
.
Příklad 6.1.1. Pro funkci f(z) =
1
1 + z
určete Laurantovu řadu se středem v bodě
a) z0 = 0
b) z0 = −1
c) z0 = 1
Řešení: a) Pro |z| < 1 je funkce f(z) součtem geometrické řady,
f
(z) =
1
1 + z
=
1
1 − (−z)
=
∞
X
n
=0
1 ·(−z)
n =
∞
X
n
=0
(−1)
nzn = 1 −z +z
2 −z3 +. . .
Tato řada je Taylorovou řadou.
Pro |z| > 1 je |1
z | < 1, a proto vyjdeme z jiného vyjádření funkce f (z),
f
(z) =
1
1 + z
=
1
z
1 + 1
z
=
1
z
1 − (−1
z )
=
∞
X
n
=0
1
z
· (−
1
z
)n =
∞
X
n
=0
(−1)n
zn+1
b) V tomto případě funkce f(z) =
1
1 + z
=
1
z
− (−1)
je dána přímo
Laurentova řadou, která se redukuje na jeden člen.
Laurentova řada funkce je tedy f(z) = (z + 1)−1.
c) Funkci upravíme, abychom dostali součet geometrické řady, kde kvocient
se dá vyjádřit pomocí z − 1.
f
(z) =
1
1 + z
=
1
1 + (z − 1) + 1
=
1
2 + (z − 1)
=
1
2(1 + z−1
2 )
=
1
2 ·
1
1 + z−1
2
.
Pro |z−1
2 | < 1 platí
1
1 + z
=
1
2 ·
1
1 − (−z−1
2 )
=
∞
X
n
=0
1
2 ·
−
z
− 1
2
n
=
∞
X
n
=0
(−1)
n (z − 1)
n
2n+1
.
Pro |z−1
2 | > 1 upravujeme podobně jako v části a).
1
1 + z
=
1
2 + (z − 1)
=
1
z
−1
1 + 2
z
−1
=
∞
X
n
=0
1
z
− 1
·
−
2
z
− 1
n
=
∞
X
n
=0
(−1)
n
2n
(z − 1)n+1
.
52
Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně