BMA2 - Sbírka
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
c)
Z
Γ
ej z
z
dz,
kde Γ je daná rovnicí |z + 1| = 2, kladně orientovaná
d)
Z
Γ
cos z
z
dz,
Γ : |z| = 1 je kladně orientovaná kružnice
e)
Z
Γ
z2
z
+ 5 − 2j
dz,
kde Γ je daná rovnicí |z + j | = 1, kladně orientovaná
Řešení: a) f(z) = ez je holomorfní funkce na množině C, a bod z0 = 1 leží
uvnitř křivky Γ.
&%
'$
0
1
z0
2
Γ
Dle Cauchyho vzorce
Z
Γ
ez
z
− 1
dz = 2πj e.
b) V tomto případě f(z) = z2 + 2z + 2 a z0 = 2 leží uvnitř křivky Γ.
Podle Cauchyho vzorce
Z
Γ
z2
+ 2z + 2
z
− 2
dz = 2πj (4 + 4 + 2) = 20πj .
c)
Z
Γ
ej z
z
dz = 2πj ;
d)
Z
Γ
cos z
z
dz = 2πj ;
e)
Z
Γ
z2
z
+ 5 − 2j
dz = 0.
Příklad 5.2.3. Využitím Cauchyho vzorce vypočtěte následující integrály
a)
Z
Γ
dz
z
(z2 + 4)
,
kde Γ : |z| = 1 je kladně orientovaná kružnice
b)
Z
Γ
dz
z2
+ 1
,
kde Γ je daná rovnicí |z − j | = 1, kladně orientovaná
c)
Z
Γ
dz
(z2 + 1)(z + 1)2
,
kde Γ je daná rovnicí |z − 1 − j | = 2, kladně orientovaná
d)
Z
Γ
z2
+ 2z − 1
z
(z + 2)
dz, kde Γ je daná rovnicí |z + 2| = 1, kladně orientovaná
e)
Z
Γ
dz
z2
+ 1
,
kde Γ je daná rovnicí |z| = 3, kladně orientovaná
MATEMATIKA 2 – Sbírka úloh
49
Řešení: a) Funkce f(z) =
1
z
(z2 + 4)
je holomorfní na C − {0, 2j , −2j }.
&%
'$
−1
0
2j
−2j
1
Γ
Bod z0 = 0 leží uvnitř křivky Γ, další body,
ve kterých funkce není holomorfní leží mimo
křivku. Proto funkci upravíme takto:
f
(z) =
1
z
(z2 + 4)
=
1
z2
+4
z
.
Funkce f(z) =
1
z2
+ 4
spolu s křivkou Γ a bodem z0 = 0 splňují předpoklady
k použití Cauchyho vzorce. Můžeme psát
Z
Γ
dz
z
(z2 + 4)
=
Z
Γ
1
z2
+4
z
dz = 2πj
1
4
=
1
2
π
j .
b) Funkce f(z) =
1
z2
+ 1
=
1
(z + j )(z − j )
je holomorfní na C − {j , −j }.