BMA2 - Sbírka
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
res
z
=zk
f
(z) =
1
sin′ kπ
=
1
cos kπ
=
1
(−1)k
= (−1)
k.
54
Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
Příklad 6.2.4. Vypočítejte rezidua v pólech daných funkcí
a
) f(z) =
1
1 + z4
b
) f(z) =
1
1 + zn
Řešení: a) Funkce f(z) je podílem dvou holomorfních funkcí, kde ϕ(z) = 1 je
nenulová na C. Musíme vyřešit rovnici 1 + z4 = 0. Je to binomická rovnice, po
úpravě máme z4 = −1. Při řešení této rovnice využijeme zápis komplexních
čísel v goniometrickém tvaru na obou stranách rovnice a Moivreovou větu.
Dostaneme kořeny zk = cos ωk + j sin ωk, k = 0, 1, 2, 3, kde ωk =
(2k + 1)πj
4
.
Navíc (1 + z4)′ = 4z3 je v bodech zk nenulové.
Funkce f(z) má tehdy v bodech zk s argumenty ω1 =
π
4
j , ω2 =
3π
4
j , ω3 =
5π
4
j
a ω4 =
7π
4
j póly prvního řádu a res
z
=zk
f
(z) =
1
4z3
k
=
zk
4z4
k
=
zk
4(−1)
= −
zk
4
.
b) Postupujeme podobně jako v části a). Řešíme binomickou rovnici 1+zn = 0.
Dostaneme kořeny zk s argumenty ωk =
(2k + 1)πj
n
, k
= 0, 1, . . . , n − 1.
Derivace (1+zn)′ = nzn−1 je v bodech zk nenulové. Jsou to póly prvního řádu.
res
z
=zk
f
(z) =
1
nz
n
−1
k
=
zk
nzn
k
=
zk
n
(−1)
= −
zk
n
.
Příklad 6.2.5. Určete u daných funkcí řád pólů a vypočítejte rezidua v těchto pólech
a
) f(z) =
1
z
(1 − z2)
b
) f(z) =
1
1 + z3
c
) f(z) =
1
(z − 1)(z − 2)2
d
) f(z) =
z2
(z2 + 1)2(z − 1)
e
) f(z) =
1
cos z
f
) f(z) =
1
ez
− 1
Řešení: a) res
z
=0
f
(z) = 1, res
z
=1
f
(z) = −1
2 ,
res
z
=−1
f
(z) = −1
2 ;
b)
res
z
=
1
2 +
√
3
2 j
f
(z) = −1
6 (1 +
√
3j ),
res
z
=
1
2 −
√
3
2 j
f
(z) = −1
6 (1 −
√
3j )
res
z
=−1
f
(z) = 1
3 ;
c) res
z
=1
f
(z) = 1, res
z
=2
f
(z) = −1;
d) res
z