BMA2 - Sbírka
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
+ 2
(p + 2)2 + 3
−
4
√
3
L−
1
(
√
3
(p + 2)2 + 3
)
=
= 2e−2t cos
√
3 t −
4
√
3
e−2
t sin
√
3 t. (Vzorce č. 7. a 8.)
g) L−
1
p
+ 1
p
(p + 2)
= L−
1
1
2p
+
1
2(p + 2)
=
1
2
+
1
2
e−2
t
(Vzorce č. 1. a 3.)
h) L−
1
5p + 3
(p − 1)(p2 + 2p + 5)
= L−
1
1
p
− 1
+
−p + 2
(p + 1)2 + 4
=
= L−
1
1
p
− 1
−
p
+ 1
(p + 1)2 + 4
+
3
2
2
(p + 1)2 + 4
= et − e−
t cos 2t +
3
2
e−
t sin 2t.
(Vzorce č. 3., 7. a 8.)
MATEMATIKA 2 – Sbírka úloh
61
Příklad 7.2.3. Pomoci věty o rozkladu najděte vzory daných obrazů F (p).
a
) F (p) =
p
+ 2
p2
− 4p + 3
b
) F (p) =
p2
+ 1
(p + 1)2(p − 1)
c
) F (p) =
p2
+ p − 1
(p − 2)(p2 − p − 20)
d
) F (p) =
5p + 3
(p − 1)(p2 + 2p + 5)
Řešení:
a) Funkce
p
+2
p2
−4p+3 má póly prvního řádu v bodech
p1 = 3 a p2 = 1.
L−
1
p
+ 2
p2
− 4p + 3
= res
p
=p1
F
(p) ept + res
p
=p2
F
(p) ept =
lim
p
→3
(p − 3)
(p + 2)ept
(p − 3)(p − 1)
+ lim
p
→1
(p − 1)
(p + 2)ept
(p − 3)(p − 1)
=
5
2
e3
t −
3
2
e
t.
b) Funkce F (p) =
p2
+1
(p+1)2(p−1) má pól druhého řádu v bodě
p1 =
−1 a pól
prvního řádu v bodě p2 = 1.
Potom L−
1
p2
+ 1
(p + 1)2(p − 1)
= res
p
=1
F
(p) ept + res
p
=−1
F
(p) ept =
= lim
p
→1
(p − 1)
(p2 + 1)ept
(p + 1)2(p − 1)
+ lim
p
→−1
(p + 1)2
(p2 + 1)ept
(p + 1)2(p − 1)
′
=
lim
p
→1
(p2 + 1)ept
(p + 1)2
+ lim
p
→−1
(2pept + (p2 + 1)eptt)(p − 1) − (p2 + 1)ept
(p − 1)2
=
=
1
2
e
t +
1
2
e−
t − te−t.
c) Funkce F (p) =
p2
+p−1
(p−2)(p2−p−20) =
p2
+p−1
(p−2)(p−5)(p+4) má v bodech
p1 = 2, p2 = 5
a p3 = −4 póly prvního řádu.
L−
1
p2
+ p − 1
(p − 2)(p2 − p − 20)
= res
p
=2
F
(p) ept+ res