BMA2 - Sbírka
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
Řešení difernciálních rovnic Laplaceovou transformaci můžeme schematicky znázornit
takto:
Prostor předmětu:
diferenciální rovnice +
řešení diferenciální rovnice
+ počáteční podmínky
vyhovující počátečním podmínkám
↓
↑
L−transformace rovnice
L−
1−transformace řešení
↓
↑
Prostor obrazů:
algebraická rovnice
−→
řešení
Uvedený způsob řešení můžeme použít i pro řešení integrálně diferenciálních rovnic, kde
se v rovnici objevuje i integrál neznámé funkce.
MATEMATIKA 2 – Sbírka úloh
63
Příklad 7.3.1. Laplaceovou transformací řešte následující diferenciální rovnice
a
) y′ − 2y = 1, y(0) = −2
b
) y′′′ + y′ = e2t, y(0) = y′(0) = y′′(0) = 0
c
) y′′ + 4y′ + 8y = 0, y(0) = 0, y′(0) = 1
d
) y′′ − 18y′ + 72y = −36 t e
6t , y(0) = 0 , y′(0) = 1
e
) y′′ − 6y′ + 9y = 0, y(0) = 1 , y′(0) = 4
f
) y′′ − 4y = 4t, y(0) = 1 , y′(0) = 0
g
) y′′′ − 3y′ + 2y = 8te−
t, y(0) = y′(0) = 0 , y′′(0) = 1
Řešení:
Podle tabulky přetransformujeme celou rovnici.
a) L{y(t)} = Y (p); L{y′(t)} = pY (p) − (−2); L{1} =
1
p
.
Dostali jsme rovnici pY (p) + 2 − 2Y (p) =
1
p
,
z které vyjádříme Y (p).
Y
(p)(p − 2) =
1
p
− 2; Y (p) =
1 − 2p
p
(p − 2)
= −
1
2p −
3
2(p − 2)
.
Zpětnou transformací dostaneme, že y(t) = −
1
2 −
3
2
e2
t.
b) L{y′′′(t)} = p
3Y (p); L{y′(t)} = pY (p); Le2t =
1
p
− 2
.
Dostali jsme rovnici p3Y (p)+pY (p) =
1
p
− 2
,
z které Y (p) =
1
p
(p2 + 1)(p − 2)
.
K zpětné transformaci použijeme větu o rozkladu.
y
(t) = −
1
2
+
1
10
e2
t +
2
5
cos t −
1
5
sin t.
c) L{y′′(t)} = p
2Y (p) − 1; L{y′(t)} = pY (p); L{y(t)} = Y (p).
p2Y
(p) − 1 + 4pY (p) + 8Y (p) = 0; Y (p)(p