BMA2 - Sbírka
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
Koeficienty bn spočítáme podle vzorce: bn =
1
π
Z
π
−π
f
(t) sin nt dt =
=
2
π
Z
π
0
sin nt dt =
2
nπ
[− cos nt]
π
0 =
−2 cos nπ + 2
nπ
=
(
0
pro n = 2k,
4
nπ
pro n = 2k − 1.
f
(t) =
∞
X
k
=1
4
(2k − 1)π
sin (2k − 1)t =
4
π
sin t +
4
3π
sin 3t +
4
5π
sin 5t + . . .
Do následujících obrázků jsme nakreslili grafy funkce f(t) a součtů SN prvních
N
členů jeho Fourierovy řady (N = 1, 3, 5).
f
(t) a S1(t) = 4
π sin t
f
(t) a S3(t) =
= 4
π sin t +
4
3π sin 3t
f
(t) a S5(t) =
4
π sin t+
4
3π sin 3t+
4
5π sin 5t
−π
π
0
−1
1
−π
π
0
−1
1
−π
π
0
−1
1
b)
-
@
@
@
@
@
@
6
−1
1
0
1
f
(t) :
Funkce f(t) = |t| je spojitá na inter-
valu h−1, 1i a je sudá. Potom bn = 0.
Perioda funkce T = 2 a ω = 2π
2 = π.
Koeficienty an spočítáme podle vzorce: a0 =
Z
1
−1
f
(t) dt = 2
Z
1
0
t
dt = 1,
an =
Z
1
−1
f
(t) cos nπt dt = 2
Z
1
0
t
cos nπt dt = [ metoda per partes]
= 2
t
sin nπt
nπ
1
0
−2
Z
1
0
sin nπt
πn
dt =
2
π2n2
[cos nπt]
1
0 =
(
0
pro n = 2k,
−4
π2n2
pro n = 2k − 1,
MATEMATIKA 2 – Sbírka úloh
71
Dosadíme do vzorce pro Fourierovou řadu a dostaneme, že pro t ∈ h−1, 1i
|t| =
1
2
+
∞
X
k
=1
−4
π2
(2k − 1)2
cos (2k − 1)πt
=
1
2 −
4
π2
cos πt −
4
9π2
cos 3πt − . . ..
Znovu jsme nakreslili funkci f(t) a částečné součty její Fourierovy řady.
f
(t) a S0(t) = 1
2
f
(t) a 1
2 −
4
π2 cos πt
1
2 −
4
π2 cos πt −
4
9π2 cos 3πt
−1
1
0
−1
1
0
−2
2
0
1
−1
1
Do posledního obrázku jsme nakreslili funkce |t| a S3 na intervalu h−2, 2i. Je
tady dobře vidět, ze Fourierova řada funkce je periodická funkce a aproximuje
|t| pouze na h−1, 1i.
c) Funkce f(t) = t2 je spojitá na h−π, πi a je sudá.
Potom bn = 0 pro n = 1, 2, . . . , T = 2π, ω = 1 a koeficienty an spočítáme: