BMA2 - Sbírka
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
p
·
p
0,1p2 + 20p + 106
=
1000
p2
+ 200p + 107
=
=
1000
(p + 100)2 + 9990000
.
=
1000
(p + 100)2 + 31602
.
= 0,3 ·
3160
(p + 100)2 + 31602
.
Zpětnou transformací dostaneme, že i(t) = 0,3 e−100t sin 3160t.
MATEMATIKA 2 – Sbírka úloh
65
7.4
Laplaceovy obrazy konečných impulsů
Při hledání obrazů konečných impulsů užíváme tzv. Diracův impuls. Jedná se o zobecně-
nou funkci δ(t − a), soustředěnou do bodu a ∈ R+, která má následující vlastnosti:
1. δ(t − a) =
n
∞ pro t = a
0
pro t 6= a
2.
Z
∞
0
δ
(t − a) dt = 1
3. L{δ(t − a)} = e−
ap
4. L{δ′(t − a)} = p e−
ap
5. L{δ
n(t − a)} = pn e−ap
Zobecněná derivace nespojité funkce v bodě t0, kde má daná funkce skok k, se rovná
kδ
(t − t0). Na základě toho napíšeme zobecněnou derivaci konečného impulsu jako součet
Diracových impulsů a jejich derivací a použijeme Laplaceovou transformaci na vzniklou
rovnici. Postup ukážeme na příkladě.
Příklad 7.4.1. Určete Laplaceovu transformaci funkcí
a
) f(t) =
n
2 pro t ∈ h3, 5i
0 pro t 6∈ h3, 5i
b) f(t) =
n
1 − t pro t ∈ h0, 1i
0
pro t 6∈ h0, 1i
c
) f(t) =
n
t
− t
2
pro t ∈ h0, 1i
0
pro t 6∈ h0, 1i
d) f(t) =
n
2t pro t ∈ h0, 1i
2
pro t ∈ h1, 3i
0
jinde
e
) f(t) =
n
4 − t pro t ∈ h1, 4i
0
pro t 6∈ h1, 4i
f) f(t) =
n
3t pro t ∈ h0, 3i
0
pro t 6∈ h0, 3i
Řešení:
a) Nakreslíme grafy funkcí f(t) a f′(t).
6
0
2
3
5
f
(t)
6
?
+2δ(t − 3)
−2δ(t − 5)
0
3
5
f ′
(t)
Vidíme, že f′(t) = 2δ(t − 3) − 2δ(t − 5).
Použijeme Laplaceovou transformaci na obě strany rovnice. Dostaneme
pF
(p) = L{f′(t)} = L{2δ(t − 3) − 2δ(t − 5)} = 2e−
3p − 2e−5p.
Z vnější rovnosti vyjádříme F (p) =