BMA2 - Sbírka
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
an =
2
T
Z
a
+T
a
f
(t) cos nωt dt,
bn =
2
T
Z
a
+T
a
f
(t) sin nωt dt
a kterou nazýváme Fourierovou řadou funkce f a píšeme
f
(t) ≈
a0
2
+
∞
X
n
=1
(an cos nωt + bn sin nωt) ,
ω
=
2π
T
.
Čísla an, bn se nazývají Fourierovy koeficienty. Symbol ≈ znamená skoro rovnost.
Kdy se funkce přesně rovná své Fourierové řadě a jak se chová v bodech, kde rovnost
neplatí uvádíme níže.
MATEMATIKA 2 – Sbírka úloh
69
Součet Fourierovy řady je roven zadané funkci tam, kde je funkce spojitá:
a0
2
+
∞
X
n
=1
(an cos nωt + bn sin nωt) = f(t), t ∈ (a, a + T ),
t
∈ (a, a + T ), funkce spojitá v t.
V bodech nespojitosti se součet rovna aritmetickému průměru limity zprava a limity zleva:
a0
2
+
∞
X
n
=1
(an cos nωt + bn sin nωt) =
1
2
[f(t+) + f(t−)],
t
∈ (a, a + T ), funkce nespojitá v t.
Nechť funkce f po částech hladká na symetrickým intervalu h−T
2 ,
T
2 i. Potom:
• Je-li f sudá funkce, pak
bn = 0,
an =
4
T
Z
T
2
0
f
(t) cos nωt dt,
ω
=
2π
T
a Fourierův rozvoj funkce se redukuje na kosinovou řadu.
• Je-li f lichá funkce, pak
an = 0,
bn =
4
T
Z
T
2
0
f
(t) sin nωt dt,
ω
=
2π
T
a Fourierův rozvoj funkce se redukuje na sinovou řadu.
Příklad 8.1.1. Najděte Fourierovu řadu funkce f(t) na daném intervalu
a
) f(t) =
1, t ∈ (0, πi
0,
t
= 0
−1, t ∈ h−π, 0)
b
) f(t) = |t|; t ∈ h−1, 1i
c
) f(t) = t2;
t
∈ h−π, πi
d
) f(t) =
(
0, t ∈ h−π, 0)
t,
t
∈ h0, πi
Řešení:
a)
-
6
−1
−π
π
0•
1
f
(t) :
Nejdříve jsme nakreslili graf funkce.
Z obrázku vidíme, že funkce je po
částech spojitá na h−π, πi a je lichá.
Potom an = 0 pro n = 0, 1, 2, . . . ,
T
= 2π a
ω
=
2π
T
=
2π
2π
= 1.
70
Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně