BMA2 - Sbírka
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
f
(n) = Z−
1{F (z)} =
X
zk
res
z
=zk
F
(z) zn−1 ,
n
= 0, 1, 2, . . .
kde zk jsou póly funkce F (z)zn−1.
Příklad 9.2.1. Najděte vzory daných obrazů F (z)
a
) F (z) =
z
1 + z
b
) F (z) =
1
z
− 2
c
) F (z) =
1
z
(z − 1)2
d
) F (z) =
z
z
− 3
e
) F (z) =
2z
(z − 1)2
f
) F (z) =
1
(z + 2)(z + 1)
Řešení: a) Při hledání vzoru nejdřív najděme póly funkce F (z) zn−1 =
zn
1 + z
.
Tato funkce má v bodě z1 = −1 pól prvního řádu. Pak pro n = 0, 1, 2, . . .
f
(n) = Z−
1{F (z)} = res
z
=−1
zn
1 + z
= lim
z
→−1
(z + 1)
zn
1 + z
= (−1)
n.
Dostali jsme tedy, že Z−
1
z
1 + z
= {(−1)
n}∞
n
=0 = (1, −1, 1, −1, . . .).
b) n = 0 : Funkce F (z) z−1 =
1
z
(z − 2)
má póly prvního řádu v bodech z1 = 0
a z2 = 2. Můžeme spočítat
f
(0) = res
z
=0
1
z
(z − 2)
+ res
z
=2
1
z
(z − 2)
= lim
z
→0
1
z
− 2
+ lim
z
→2
1
z
= 0.
Pro n = 1, 2, . . . funkce F (z) zn−1 =
zn−1
z
− 2
má pól prvního řádu pouze v bodě
z1 = 2.
Potom f(n) = res
z
=2
zn−1
z
− 2
= lim
z
→2
(z − 2)
zn−1
z
− 2
= 2n−1.
Vzorem funkce F (z) je posloupnost {f(n)}∞
n
=0 = (0, 1, 2, 4, 8, . . .)
MATEMATIKA 2 – Sbírka úloh
79
c) n = 0 : F (z) z−1 =
1
z2
(z − 1)2
má v bodech z1 = 0 a z2 = 1 póly druhého
řádu. Spočítáme
f
(0) = res
z
=0
1
z2
(z − 1)2
+ res
z
=1
1
z2
(z − 1)2
= lim
z
→0
1
(z − 1)2
′
+lim
z
→1
1
z2
′
= lim
z
→0
−2
(z − 1)3
+ lim
z
→1
−2
z3
= 2 − 2 = 0.
n
= 1 : F (z) z0 =
1
z
(z − 1)2
má v bodě z1 = 0 pól prvního řádu a v bodě
z2 = 1 pól druhého řádu. Potom
f
(1) = res
z
=0
1
z
(z − 1)2
+ res
z