BMA2 - Sbírka
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
d
) y(n + 1) − y(n) = 2
n(n − 1), y(0) = 0
e
) y(n + 2) − 4y(n + 1) + 4y(n) = 0, y(0) = 1, y(1) = 4
f
) y(n + 2) − 5y(n + 1) + 6y(n) = 1, y(0) = 0, y(1) = 0
g
) y(n + 2) − 9y(n) = 0, y(0) = 0, y(1) = 1
h
) y(n + 2) − 5y(n + 1) + 4y(n) = 2
n, y(0) = 0, y(1) = 0
i
) y(n + 1) − 3y(n) = n(−1)
n, y(0) = 1
Řešení:
a) Podle tabulky přetransformujeme celou rovnici.
Z{y(n)} = Y (z); Z{y(n + 1)} = zY (z) − 0 · z = zY (z);
Z{y(n + 2)} = z
2Y (z) − 0 · z2 − 2z = z2Y (z) − 2z;
Dostali jsme rovnici pro Y (z) : z2Y (z) − 2z − 3zY (z) − 10Y (z) = 0.
Z toho Y (z) =
2z
(z − 5)(z + 2)
,
a zpětnou transformací ziskáme
y
(n) =
2
7
5n −
2
7
(−2)
n,
n
= 0, 1, 2, . . . .
b) Z{y(n)} = Y (z); Z{y(n + 2)} = z
2Y (z) − z;
Rovnice pro Y (z) je z2Y (z) − z + Y (z) = 0, a z toho Y (z) =
z
z2
+ 1
.
Funkce Y (z) zn−1 =
zn
z2
+ 1
má v bodech z1 = j a z2 = −j póly prvního řádu.
Pro n = 0, 1, . . . : y(n) = Z−
1{Y (z)} = res
z
=j
zn
z2
+ 1
+ res
z
=−j
zn
z2
+ 1
=
lim
z
→j
zn
z
+ j
+ lim
z
→−j
zn
z
− j
=
j n
2j
+
(−j )n
−2j
=
j n−1
2
+
(−j )n−1
2
= j n−1
1
2
+
(−1)n−1
2
.
Řešením diferenční rovnice je posloupnost {y(n)}∞
n
=0 = (0, 1, 0, −1, 0, 1, 0, . . .).
c) Z{y(n)} = Y (z); Z{y(n + 1)} = zY (z); Z{y(n + 2)} = z
2Y (z);
Rovnice pro Y (z) je z2Y (z)+zY (z)−2Y (z) =
z
z
− 1
a Y (z) =
z
(z − 1)2(z + 2)
.
MATEMATIKA 2 – Sbírka úloh
81
Funkce Y (z) zn−1 =
zn
(z − 1)2(z + 2)
má v bodě z1 = −2 pól prvního řádu a v