BMA2 - Sbírka
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
f
(t) =
U0t0
L
+
∞
X
n
=1
2U0
nπ
sin
nπt0
L
cos
2nπt
L
.
Znovu jsme nakreslili funkci f(t) a částečné součty její Fourierovy řady.
0
0
U0
U0
L
L
−L
−L
Příklad 8.1.3. Najděte Fourierovu řadu funkce f(t) na daném intervalu
a
) f(t) = t;
t
∈ h−π, πi
b
) f(t) = |t| − 1; t ∈ h−1, 1i
c
) f(t) =
π2
12 −
t2
4
;
t
∈ h−π, πi
d
) f(t) =
(
0, t ∈ h−π, 0i
1, t ∈ (0, πi
Řešení:
a) f(t) = −2
∞
X
n
=1
(−1)n
n
sin nt;
b) f(t) = −
1
2 −
4
π2
∞
X
k
=1
1
(2k − 1)2
cos (2k − 1)πt;
c) f(t) =
∞
X
n
=1
(−1)n+1
n2
cos nt
;
d) f(t) =
1
2
+
2
π
∞
X
n
=1
1
2n − 1
sin (2n − 1)t.
74
Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
Příklad 8.1.4. Pro funkci f(t) = 1 − t, t ∈ h0, 2i spočítejte
a) její rozvoj v kosinovou řadu
b) její rozvoj v sinovou řadu.
Řešení:
a) Funkci f(t) = 1 − t rozšíříme na f∗(t) tak, abychom dostali
na intervalu h−2, 2i sudou funkci, a spočítáme Fourierovu řadu této funkce.
Potom bn = 0, perioda funkce T = 2 − (−2) = 4 a ω = 2π
4 =
π
2 .
Koeficienty an spočítáme podle vzorce: a0 =
1
2
Z
2
−2
f ∗
(t) dt =
Z
2
0
1 − t dt = 0,
an =
1
2
Z
2
−2
f ∗
(t) cos
nπt
2
dt =
Z
2
0
(1 − t) cos
nπt
2
dt = [ metoda per partes]
=
2(1 − t)
nπ
sin
nπt
2
2
0
+
2
πn
Z
2
0
sin
nπt
2
dt =
4
π2n2
cos
nπt
2
2
0
=
=
4
π2n2
(1 − cos nπ) =
(
0
pro n = 2k,
8
π2n2
pro n = 2k − 1.
Dostali jsme kosinovou Fourierovu řadu funkce pro t ∈ h0, 2i
1 − t =
∞
X
k
=1
8
π2
(2k − 1)2
cos
(2k − 1)πt
2
=
8
π2
cos
πt
2
+
8
9π2
cos
3πt
2
+ . . ..
b) Funkci f(t) = 1 − t rozšíříme na f∗∗(t) tak, abychom dostali na intervalu
h−2, 2i lichou funkci, a spočítáme Fourierovu řadu této funkce. Potom an = 0,
perioda funkce T = 2 − (−2) = 4 a ω = 2π