BMA2 - Sbírka
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
2
p
e−3
p − e−
5p.
66
Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
b) Po nakreslení obrázku funkce a její zobecněné derivace dostaneme pořád
nespojitou funkci. Až druhou derivaci můžeme vyjádřit pouze pomocí Diraco-
vých impulsů.
6
+1 · δ(t)
0
−1
1
f ′
(t)
6
?
6
+1 · δ′(t)
−1 · δ(t)
+1 · δ(t − 1)
0
1
f ′′
(t)
f ′′
(t) = δ′(t) − δ(t) + δ(t − 1),
p2F
(p) = L{f′′(t)} = p − 1 + e−p. Z toho F (p) =
1
p2
p
− 1 + e−
p.
c) Až v druhé a třetí zobecěné derivaci se objeví Diracovy impulsy.
6
6
+1 · δ(t)
+1 · δ(t − 1)
0
−2
1
f ′′
(t)
6
?
6
+1 · δ′(t)
−2δ(t)
+2δ(t − 1) + 1 · δ′(t − 1)
0
1
f ′′′
(t)
f ′′′
(t) = δ′(t) − 2δ(t) + 2δ(t − 1) + δ′(t − 1).
Potom L{f(t)} =
1
p3
p
− 2 + 2 e−
p + p e−p.
d) I v tomto příkladě musíme počítat druhou zobecněnou derivaci dané funkce.
?
6
0
2
1
3
f ′
(t)
−2δ(t−3)
6
?
?
+2δ(t)
−2δ′(t−3)
−2δ(t−1)
0
1
3
f ′′
(t)
p2F
(p) = L{2δ(t) − 2δ(t − 1) − 2δ′(t − 3)} = 2 − 2 e−
p − 2p e−
3p.
Z toho L{f(t)} =
1
p2
2 − 2 e−
p − 2p e−
3p.
e) F (p) = 1
p2 (3p e
−p − e−p + e−4p) ;
f) F (p) = 1
p2 (3 − 9p e
−3p − 3 e−3p).
MATEMATIKA 2 – Sbírka úloh
67
Příklad 7.4.2. Řešte diferenciální rovnici L di
dt + R i = u(t), i(0) = 0,
kterou je po-
psán průběh proudu v elektrickém obvodu se seriově zapojenou cívkou s indukčnosti L,
ohmickým odporem R a vnějším napětím u(t), kde
u
(t) =
n
E
pro t ∈ h0, ai,
0
pro t 6∈ h0, ai.
Řešení:
L{i(t)} = I(p); L{i′(t)} = p I(p);
Pro určení Laplaceovy transformace pravé strany musíme přetransformovat
konečný impuls:
6
0
E
a
u
(t)
6
?
+Eδ(t)
−Eδ(t − a)
0
a
u′