BMA2 - Sbírka
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
p
=5
F
(p) ept+ res
p
=−4
F
(p) ept =
= −
5
18
e2
t +
29
27
e5
t +
11
54
e−4
t.
d) Funkce F (p) =
5p+3
(p−1)(p2+2p+5) má póly prvního řádu v bodech
p1 = 1,
p2 =
−1 + 2j a p3 = −1 − 2j .
Nejdřív spočítáme reziduum v bodě p2 = −1 + 2j .
res
p
=p2
F
(p) ept =
lim
p
→−1+2j
(p + 1 − 2j )
(5p + 3)ept
(p − 1)(p + 1 − 2j )(p + 1 + 2j )
=
=
lim
p
→−1+2j
(5p + 3)ept
(p − 1)(p + 1 + 2j )
= −
2 + 3j
4
e(−1+2j )
t.
62
Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
Platí, že
res
p
=p2
F
(p) ept + res
p
=p3
F
(p) ept = 2Re res
p
=p2
F
(p) ept =
= 2Re
−
2 + 3j
4
e−
t(cos 2t + j sin 2t)
= 2
−
1
2
e−
t cos 2t +
3
4
e−
t sin 2t
.
Ještě spočítáme, že
res
p
=p1
F
(p) ept = et a výsledky sečteme.
L−
1
5p + 3
(p − 1)(p2 + 2p + 5)
= et − e−
t cos 2t +
3
2
e−
t sin 2t.
Příklad 7.2.4. Najděte vzory daných obrazů F (p)
a
) F (p) =
p2
+ 4
p3
+ p2 − 2p
b
) F (p) =
4
(p + 1)4 −
p
p2
+ 2
c
) F (p) =
2p
(p2 + 1)(p2 + 4)
d
) F (p) =
1
(p + 3)(p − 2)2
e
) F (p) =
1
(p − 1)2(p − 2)3
f
) F (p) =
p2
+ 1
p
(p + 2)(p + 1)
Řešení: a) f(t) = −2 + 4
3 e
−2t
+ 5
3 e
t
;
b) f(t) = 2
3 t
3e−t − cos
√
2t;
c) f(t) = 2
3 (cos t − cos 2t);
d) f(t) = 1
25 (e
−3t
+ (5t − 1)e2t);
e) f(t) = 1
2 t
2e2t − 4te2t + 6e2t − 2tet − 6et; f) f(t) = 1
2 − 2e
−t
+ 5
2 e
−2t.
7.3
Řešení diferenciálních rovnic Laplaceovou transformaci
Ze základního slovníku Laplacovy transformace víme, že operaci derivování podle t v
prostoru předmětů odpovídá násobení proměnnou p v prostoru obrazů. Můžeme proto
očekávat, že Laplaceova transformace převede jisté typy diferenciálních rovnic na alge-
braické.