BMA2 - Sbírka
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
=1
f
(z) = 1
4 ,
res
z
=j
f
(z) = −1
8 ,
res
z
=−j
f
(z) = −1
8 ;
e)
res
z
= π
2 +kπ
f
(z) = (−1)k+1, k celé;
f)
res
z
=2kπj
f
(z) = 1, k celé.
MATEMATIKA 2 – Sbírka úloh
55
Příklad 6.2.6. Vypočtěte následující integrály pomocí reziduí
a)
Z
Γ
dz
z
(z − 1)2
,
kde Γ : |z| =
1
2
je kladně orientovaná kružnice
b)
Z
Γ
ez
z
(z2 + 1)
dz,
kde Γ : |z + 1 + j | = 2 je kladně orientovaná kružnice
c)
Z
Γ
ez
z
(z2 + 1)
dz,
kde Γ : |z| =
1
2
je kladně orientovaná kružnice
d)
Z
Γ
dz
z
(z − 1)2
,
kde Γ : |z| = 2 je kladně orientovaná kružnice
e)
Z
Γ
z2
+ z + 1
z
(z − 1)2
dz,
kde Γ : |z| = 2 je kladně orientovaná kružnice
Řešení: a) Funkce f(z) =
1
z
(z − 1)2
má v bodě z1 = 0 pól prvního řádu a v
bodě z2 = 1 pól druhého řádu.
Z obou pólů leží uvnitř křivky Γ pouze pól z1 = 0 a res
z
=0
f
(z) = 1.
Podle reziduově věty
Z
Γ
1
z
(z − 1)2
dz = 2πj res
z
=0
f
(z) = 2πj .
b) Funkce f(z) =
ez
z
(z2 + 1)
má v bodech z1 = 0, z2 = j a z3 = −j póly
prvního řádu. Uvnitř křivky Γ leží pouze póly z1 = 0 a z3 = −j .
Dále res
z
=0
f
(z) = 1 a
res
z
=−j
f
(z) = −e−
j
2 .
Z
Γ
ez
z
(z2 + 1)
dz = 2πj ( res
z
=0
f
(z) + res
z
=−j
f
(z)) = 2πj (1 −
e−j
2
) =
= −π sin 1 + j (2π − π cos 1).
c) 2πj ;
d) 0;
e) 2πj .
56
Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
STUDIJNÍ JEDNOTKA
LAPLACEOVA TRANSFORMACE
Cíle studijní jednotky.
V této části se naučíte řešit diferenciální rovnice pomocí Lapla-
ceovy transformace. Ukážeme, jak se dají řešit pomocí Laplaceovy transformace integrálně
diferenciální rovnice a také diferenciální rovnice s nespojitou pravou stranou.
7
Laplaceova integrální transformace
7.1
Definice a vlastnosti Laplaceovy transformace