BMA2 - Sbírka

6.2

Singulární body komplexní funkce, reziduová věta

Nechť komplexní funkce f(z) je holomorfní v určitém okolí bodu z0 s výjimkou bodu z0.
Pak z0 se nazývá singulárním bodem funkce f(z).

Klasifikace singulárních bodů:
odstranitelná singularita

— hlavní část Laurentovy řady v bodě z0 se rovná 0 a zřejmě

limz→z

0 f (z ) = a0,

a je tedy konečná,

podstatná singularita

— hlavní část Laurentovy řady v bodě z0 má nekonečně mnoho

nenulových členů, limz→z

0 f (z ) neexistuje,

pól m-tého řádu

— hlavní část Laurentovy řady v bodě z0 má konečně mnoho nenu-

lových koeficientů, tj. an = 0 pro n < −m, a−m 6= 0, a platí, že limz→z

0 f (z ) =

∞.

Nejdůležitějšími singulárními body komplexní funkce jsou póly. Pro určení řádu pólu
užíváme limity limz→z

0 (z

− z0)

mf

(z) = a−m, která musí být vždy konečná a nenulová.

Koeficient a−1 z Laurentovy řady funkce f(z) v bodě z0 se nazývá reziduem funkce
f

(z) v bodě z0. Značíme a−1 = res

z

=z0

f

(z).

Vzorec na výpočet rezidua pro pól prvního řádu

res

z

=z0

f

(z) = lim

z

→z0

(z − z0)f(z)

Vzorec na výpočet rezidua pro pól m-tého řádu

res

z

=z0

f

(z) =

1

(m − 1)!

lim

z

→z0

dm−1

dzm−1

[(z − z0)

mf(z)]

Nechť f(z) =

ϕ

(z)

ψ

(z)

,

kde funkce ϕ(z) a ψ(z) jsou holomorfní v bodě z0, ϕ(z0) 6= 0,

ψ

(z0) = 0, ψ′(z0) 6= 0. Potom má funkce f(z) v bodě z0 pól prvního řádu a platí, že

res

z

=z0

f

(z) =

ϕ

(z0)

ψ′

(z0)

Reziduová věta.

Nechť komplexní funkce f(z) je holomorfní uvnitř a na jednoduché

uzavřené, kladně orientované křivce Γ s výjimkou pólů z1, z2, . . . , zn uvnitř křivky Γ,
potom

Z

Γ

f

(z) dz = 2πj

n

X

k

=1

res

z

=zk

f

(z)

Sčítáme tedy pouze rezidua v pólech, které leží uvnitř křivky Γ.