BMA2 - Sbírka
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
Dostaneme 9
Z
π
0
(− cos t sin t) dt = 9
Z
−1
1
u
du = 9
u2
2
−1
1
= 9(
1
2 −
1
2
) = 0.
Pro výpočet druhého integrálu použijeme vzorec : cos2 x =
1 + cos 2x
2
.
Potom
Z
π
0
cos2 t dt =
Z
π
0
1 + cos 2t
2
dt =
Z
π
0
1
2
dt +
Z
π
0
cos 2t
2
dt =
=
t
2
π
0
+
sin 2t
4
π
0
=
π
2
.
Dostali jsme, že
Z
Γ
Re z dz = 0 + 9j
π
2
=
9
2
π
j .
Příklad 5.1.5. Vypočtěte integrál
Z
Γ
Im z dz, kde Γ je úsečka z bodu 0 do bodu 1 + j .
Řešení:
Parametrická rovnice této úsečky je z(t) = t + j t, t ∈ h0, 1i.
Z toho Im z(t) = t a dz = (1 + j ) dt a
Z
Γ
Im z dz =
Z
1
0
t
· (1 + j ) dt =
Z
1
0
t
dt + j
Z
1
0
t
dt =
t2
2
1
0
+ j
t2
2
1
0
=
1
2
+
1
2
j .
Příklad 5.1.6. Vypočtěte
Z
Γ
Re z dz, kde Γ je oblouk paraboly z bodu 0 do bodu 1, který
má parametrickou rovnici z(t) = t + j t2, t ∈ h0, 1i.
Řešení: Γ : z(t) = t + j t2, t ∈ h0, 1i, Re z(t) = t a dz = (1 + j 2t) dt.
Z
Γ
Re z dz =
Z
1
0
t
(1 + 2j t) dt =
Z
1
0
t
dt + 2j
Z
1
0
t2
dt =
t2
2
1
0
+ 2j
t3
3
1
0
=
=
1
2
+
2
3
j .
MATEMATIKA 2 – Sbírka úloh
45
Příklad 5.1.7. Vypočtěte
Z
Γ
Re z dz, kde Γ je lomená čára spojující body 0, 1 a 1 + j .
Řešení: Křivka Γ se skládá ze dvou úseček Γ1 a Γ2.
Γ1 : z(t) = t, t ∈ h0, 1i, Re z(t) = t a dz = dt.
Γ2 : z(t) = 1 + j t, t ∈ h0, 1i, Re z(t) = 1 a dz = j dt.
Z
Γ
Re z dz =
Z
1
0
t
dt + j
Z
1
0
1 dt =
t2
2
1
0
+ j [t]
1
0 =
1
2
+ j .
Příklad 5.1.8. Vypočtěte
Z
Γ
|z| z dz, kde Γ je
a) kladně orientována kružnice |z| = 2
b) daná graficky
π
4
0
1
Řešení:
a) z(t) = 2ej t,
t
∈ h0, 2πi, |z(t)| z(t) = 2 · 2e−