BMA2 - Sbírka
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
Bod z0 = j leží uvnitř křivky Γ, bod z1 = −j leží mimo křivku.
Z
Γ
dz
z2
+ 1
=
Z
Γ
1
z
+j
z
− j
dz = 2πj
1
2j
= π.
c)
Z
Γ
dz
(z2 + 1)(z + 1)2
=
Z
Γ
1
(z+j )(z+1)2
z
− j
dz = −
π
2
j ; d)
Z
Γ
z2
+ 2z − 1
z
(z + 2)
dz = πj .
e) Funkce f(z) =
1
z2
+ 1
=
1
(z + j )(z − j )
je holomorfní na C − {j , −j }.
Body z0 = j , a z1 = −j leží uvnitř křivky Γ a nemůžeme použit Cauchyův
vzorec pro tuto funkci ani po úpravě. Rozložíme funkci na parciální zlomky.
1
z2
+ 1
=
A
z
+ j
+
B
z
− j
1 = A(z − j ) + B(z + j ) ⇒ A =
j
2
, B
= −
j
2
Potom máme
Z
Γ
dz
z2
+ 1
=
j
2
Z
Γ
dz
z
+ j −
j
2
Z
Γ
dz
z
− j
=
j
2
2πj −
j
2
2πj = 0.
(Použili jsme Cauchyův vzorec na každý integrál zvlášt.)
50
Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
STUDIJNÍ JEDNOTKA
TEORIE REZIDUÍ
Cíle studijní jednotky.
V této části ukážeme, jak se dá komplexní funkce rozvinout v
mocninnou řadu. Také se naučíte rozpoznat singulární body funkce a určovat reziduum v
těchto bodech. Nakonec ukážeme, jak pomocí reziduí počítat komplexní integrály.
6
Teorie reziduí
6.1
Laurentova řada
Nechť je Ω mezikruhová oblast se středem v bodě z0. Jestliže komplexní funkce f(z) je ho-
lomorfní v oblasti Ω, potom pro každé z ∈ Ω je možno funkci f(z) vyjádřit Laurentovou
řadou:
f
(z) =
∞
X
n
=−∞
an(z
− z0)
n,
kde konstanty an jsou určeny vzorci
an =
1
2πj
Z
Γ
f
(z)
(z − z0)n+1
dz
a Γ je libovolná kružnice ležící v mezikruží Ω.
Část
−1
X
n
=−∞
an(z
− z0)
n
se nazývá hlavní část Laurentovy řady.
Je vidět, že Taylorova řada je zvláštním případem Laurentovy řady, kde hlavní část se
rovná 0.
Poznámka.
Pro rozvoj racionální komplexní funkce v Laurentovu řadu využíváme vzorec