BMA2 - Sbírka
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
j t
a dz = 2j ej t dt.
Z
Γ
|z| z dz =
Z
2π
0
4e−j t2j ej t dt = 8j
Z
2π
0
dt = 8j [t]
2π
0
= 8j 2π = 16πj .
b) Křivka se skládá ze tři části: Γ = Γ1 ∪ Γ2 ∪ Γ3.
Γ1 : z(t) = t, t ∈ h0, 1i, |z(t)| z(t) = t · t = t2 a dz = dt.
Z
Γ1
|z| z dz =
Z
1
0
t2
dt =
t3
3
1
0
=
1
3
.
Γ2 : z(t) = ejt, t ∈ h0, π
4 i,
|z(t)| z(t) = e−
j t
a dz = j ej t dt.
Z
Γ2
|z| z dz =
Z
π
4
0
e−j
tj ej t dt = j
Z
π
4
0
dt = j [t]
π
4
0 =
π
4
j .
Γ3 : z(t) =
√
2
2
t
+ j
√
2
2
t
=
√
2
2
t
(1 + j ),
dz =
√
2
2
(1 + j ) dt
a |z(t)| z(t) =
√
2
2
t
√
2
√
2
2
t
(1 − j ) =
√
2
2
t2
(1 − j ).
Z
Γ3
|z| z dz =
Z
0
1
t2
√
2
2
(1 − j )
√
2
2
(1 + j ) dt =
1
2
(1 − j )(1 + j )
t3
3
0
1
= −
1
3
.
Z
Γ
|z| z dz =
Z
Γ1
|z| z dz +
Z
Γ2
|z| z dz +
Z
Γ3
|z| z dz =
1
3
+
π
4
j −
1
3
=
π
4
j .
46
Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
Příklad 5.1.9. Vypočtěte integrály, když integrační cesta je daná graficky
a)
Z
Γ
|z| z dz,
kde Γ je:
0
1
-1
-2
2
b)
Z
Γ
|z| z dz,
kde Γ je:
0
j
1
c)
Z
Γ
z
z
dz,
kde Γ je:
0
-1
1
d)
Z
Γ
|z|
2 dz,
kde Γ je:
0
j
-j
1
e)
Z
Γ
z
z
dz,
kde Γ je čtvrtkružnice:
π
4
0
1
Řešení: a) 7πj ;
b) −1
3 ;
c) 4
3 ;
d) 4
3 j ;
e) 2 +
√
2 (j − 1).
Ve všech příkladech v této kapitole jsme integrovali funkce, které nejsou holomorfní na
C
.
Byly to funkce Re z, Im z, |z|, z, anebo funkce z nich složené. Budeme-li chtít integro-
vat holomorfní funkce, anebo funkce které jsou holomorfní až na konečný počet bodů v
C
,
nemusíme křivku parametrizovat, ale využíváme Cauchyovou větu, Cauchyův vzorec
případně reziduovou větu.
MATEMATIKA 2 – Sbírka úloh
47
5.2
Cauchyův vzorec a Cauchyova věta