BMA2 - Sbírka
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
=
y2
− x
2
(x2 + y2)2
,
∂v
∂y
= −
x2
+ y2 − y2y
(x2 + y2)2
=
y2
− x
2
(x2 + y2)2
,
∂u
∂y
=
−2xy
(x2 + y2)2
,
∂v
∂x
=
2xy
(x2 + y2)2
.
MATEMATIKA 2 – Sbírka úloh
39
Cauchy-Riemannovy podmínky platí pro všechna z ∈ C\{0}. Funkce f(z) =
1
z
je holomorfní v každém bodě kromě nuly a f′(z) = −
1
z2
pro z 6= 0.
c) Pro f(z) = Im z máme f(x + j y) = y. Potom u(x, y) = y a v(x, y) = 0
a
∂u
∂x
= 0 =
∂v
∂y
,
∂u
∂y
= 1,
∂v
∂x
= 0,
1 6= 0. Rovnice neplatí v žádném
bodě. Funkce není holomorfní v žádném bodě, a proto f′(z) neexistuje.
d) Pro f(z) = |z| máme f(x + j y) =
px2 + y2.
Potom u(x, y) =
px2 + y2 a v(x, y) = 0 a
∂u
∂x
=
x
px2 + y2
=
∂v
∂y
pouze
pro x = 0. Podobně
∂u
∂y
= −
∂v
∂x
pro y = 0. Ale v bodě z = 0 + 0j příslušné
derivace nejsou definované. Rovnice neplatí v žádném bodě.
Funkce není holomorfní v žádném bodě a proto f′(z) neexistuje.
e) f(x + j y) = (x + j y)2 = x2 + 2xyj − y2 = x2 − y2 + j 2xy.
Potom u(x, y) = x2 − y2 a v(x, y) = 2xy.
Rovnice
∂u
∂x
= 2x =
∂v
∂y
,
∂u
∂y
= −2y = −
∂v
∂x
platí na celém C.
Funkce f(z) = z2 je holomorfní pro všechna z ∈ C a f′(z) = 2z.
Příklad 4.3.2. Zjistěte oblast na které je funkce f(z) =
j
z
− j
holomorfní, a vypočítejte
f ′
(2 − j ), jestliže derivace v tomto bodě existuje.
Řešení: f(x+j y) =
j
x
+ j y − j
=
j
x
+ j (y − 1)
·
x
− j (y − 1)
x
− j (y − 1)
=
(y − 1) + j x
x2
+ (y − 1)2
.
Potom u(x, y) =
(y − 1)
x2
+ (y − 1)2
a v(x, y) =
x
x2
+ (y − 1)2
.
∂u
∂x
=
−(y − 1)2x
(x2 + (y − 1)2)2
,
∂v
∂y
=
−x2(y − 1)
(x2 + (y − 1)2)2