BMA2 - Sbírka
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
b) j + j 3 + j 15 + j 29 = j + j 3 + j 3 + j = j − j − j + j = 0;
c)
1 + 2j
3 − 4j
=
(1 + 2j )(3 + 4j )
32 − (4j )2
=
3 + 4j + 6j + 8j 2
9 − (−16)
= −
5 + 10j
25
= −
1
5
+
2
5
j .
MATEMATIKA 2 – Sbírka úloh
35
Příklad 4.1.2. Určete absolutní hodnotu a argument komplexních čísel
a
) − 1 + j
b
) j
c
) − 1
d
) 2 + 2j
Řešení: a) | − 1 + j | =
p(−1)2 + 12 =
√
2; sin ϕ =
1
√
2
,
cos ϕ = −
1
√
2
.
Potom ϕ =
3
4
π
+ 2kπ, k celé.
b) |j | =
√
0 + 12 = 1; sin ϕ = 1, cos ϕ = 0. Z toho ϕ =
1
2
π
+ 2kπ.
c) | − 1| =
p(−1)2 + 0 = 1; sin ϕ = 0, cos ϕ = −1. Z toho ϕ = π + 2kπ.
d) |2 + 2j | =
√
22 + 22 =
√
8, sin ϕ =
2
√
8
=
1
√
2
=
√
2
2
,
cos ϕ =
2
√
8
=
√
2
2
.
Potom ϕ =
π
4
+ 2kπ.
Příklad 4.1.3. Najděte v Gaussově rovině čísla z, pro něž platí dané rovnice
a
) |z + 3 − 5j | = 3
b
) |z − j | = 1
c
) 1 < |z + j | < 2
d
) |z| = 1 − 2j
e
) Re z = Im z
f
) Im z = −j
Řešení: a) |z +3−5j | = |z −(−3+5j )| = 3. V Gaussově rovině |z +3−5j |
vyjadřuje vzdálenost bodů z a −3 + 5j a tato vzdálenost musí být pro každé
z
rovna třem. Množina všech takových z je tedy kružnice se středem v bodě
−3 + 5j a poloměrem 3.
b) Kružnice se středem v bodě j a poloměrem 1.
c) Vzdálenost bodu z od −j musí být v rozmezí od 1 do 2. Množina všech
takových z je tedy vnitřek mezikruží se středem v bodě −j . Poloměry hra-
ničních kružnic jsou 1 a 2.
d) Absolutní hodnota komplexního čísla musí být reálné číslo. Daná rovnice
nemá řešení.
e) Vzdálenost čísla z od reálné osy musí být stejná jako vzdálenost čísla z od
imaginární osy. Množina všech takových z je osa prvního a třetího kvadrantu.
f) Imaginární část komplexního čísla musí být reálné číslo. Daná rovnice nemá
řešení.