BMA2 - Sbírka

30

Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně

Y

= e0x x0 (Ax + B) = Ax + B,

Y ′

= A,

Y ′′

= 0 a po dosazení

0 + 2A + Ax + B = 2x − 1.

Porovnáme koeficienty:

x1

:

A

= 2

x0

:

2 A + B = −1

a dostaneme A = 2 a B = −5. Potom Y = 2x − 5 a obecné řešení

y

= yh + Y = C1 e−x + C2 x e−x + 2x − 5.

Spočítáme ještě y′, abychom mohli dosadit počáteční podmínky,

y′

= −C1 e−

x + C2 e−x − C2 x e−x + 2.

Z toho 3 = y(0) = C1−5, −4 = y′(0) = −C1+C2+2. Pak C1 = 8, C2 = 2.
Hledané partikulární řešení bude y = 8 e−x + 2 x e−x + 2x − 5.

b) Vyřešíme homogenní rovnici y′′ + y = 0. Máme λ2 + 1 = 0.
Kořeny charakteristické rovnice jsou λ1,2 = ±i a yh = C1 cos x + C2 sin x.
Pravá strana je tvaru

f

(x) = 8 sin x = e0x (0 cos x + 8 sin x).

Zde α + iβ = 0 + i je kořen charakteristické rovnice, a proto k = 1 a

Y

= e0x x1 (A cos x + B sin x) = x(A cos x + B sin x).

Spočítáme derivace a dosadíme do rovnice:

Y ′

= A cos x+B sin x+x(−A sin x+B cos x) = (A+Bx) cos x+(B−Ax) sin x,

Y ′′

= (2B − Ax) cos x + (−2A − Bx) sin x,

(2B − Ax) cos x + (−2A − Bx) sin x + Ax cos x + Bx sin x = 8 sin x.

Musí se rovnat koeficienty při cos x a sin x na obou stranách:
cos x :

2B − Ax + Ax = 0

sin x :

−2A − Bx + Bx = 8

Potom A = −4, B = 0, Y = −4x cos x a y = C1 cos x+C2 sin x−4x cos x.
Spočítáme y′ = −C1 sin x+C2 cos x−4 cos x+4x sin x a dosadíme počáteční
podmínky: 1 = y(0) = C1, −3 = y′(0) = C2 − 4 ⇒ C1 = 1, C2 = 1.
Hledané řešení je y = cos x + sin x − 4x cos x.