BMA2 - Sbírka
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
Příklad 4.1.4. Zapište v Eulerově tvaru z = |z| ejϕ komplexní čísla
a
) 1 − j
√
3
b
) − j
c
) − 1
d
) 1
Řešení: a) 2 e(
1
3 +2k)πj
;
b) e(
3
2 +2k)πj
;
c) e(1+2k)πj ;
d) e2kπj .
36
Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
4.2
Funkce komplexní proměnné
Funkce w = f(z) definovaná na oblasti Ω ⊂ C s funkčními hodnotami v oboru komplex-
ních čísel se nazývá funkce komplexní proměnné. Je-li ke každému z ∈ Ω přiřazeno
právě jedno komplexní číslo w, pak říkáme, že funkce je jednoznačná, v opačném případě
říkáme, že je mnohoznačná. Komplexní funkci w = f(z) můžeme napsat i v algebraic-
kém tvaru
f
(z) = u(x, y) + j v(x, y),
kde z = x + j y a u(x, y), v(x, y) jsou reálné funkce dvou proměnných. Funkci u(x, y)
nazýváme reálnou částí f, píšeme Re f a v(x, y) nazýváme imaginární částí funkce f,
značíme Im f.
Přehled některých důležitých komplexních funkcí
Název komplexní funkce Vzorec pro komplexní funkci Podmínky platnosti vzorce
Exponenciální funkce
ez
= ex(cos y + j sin y)
z
= x + j y, z ∈ C
Kosinus
cos z = e
j
z +e−j z
2
z
∈ C
Sinus
sin z = e
j
z −e−j z
2j
z
∈ C
Tangens
tg z = sin z
cos z
z
6=
(2k+1)π
2
, k
celé
Kotangens
cot z = cos z
sin z
z
6= kπ, k celé
Kosinus hyperbolický
cosh z = e
z +e−z
2
z
∈ C
Sinus hyperbolický
sinh z = e
z −e−z
2
z
∈ C
Logaritmická funkce
Ln z = ln |z| + j Arg z
z
∈ C, z 6= 0
Mocninná funkce
zα
= eα Ln z
z, α
∈ C, z 6= 0
Funkce ez, sinh z a cosh z jsou periodické s periodou 2πj , funkce sin z a cos z s periodou
2π. Funkce Ln z a zα jsou víceznačné, ke každému číslu je přiřazeno více komplexních
čísel. Omezíme-li se na arg z ∈ h0, 2π) dostaneme tzv. hlavní větev logaritmu resp.