Jak Začít?

Máš v počítači zápisky z přednášek
nebo jiné materiály ze školy?

Nahraj je na studentino.cz a získej
4 Kč za každý materiál
a 50 Kč za registraci!




BMA2 - Sbírka

PDF
Stáhnout kompletní materiál zdarma (582.9 kB)

Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.

hlavní hodnotu mocninné funkce.

MATEMATIKA 2 – Sbírka úloh

37

Příklad 4.2.1. Určete reálnou a imaginární část funkce f(z)

a

) f(z) = (z + j )2

b

) f(z) = e−j z

Řešení: a) f(x+j y) = (x + j y + j )2 = (x + j (y + 1))2 = x2 + 2j x(y + 1) − (y + 1)

2 =

x2

− y

2 − 2y − 1 + j 2(xy + x).

Z toho píšeme, že Re f(z) = x

2 − y2 − 2y − 1 a Im f(z) = 2xy + 2x.

b) f(x+j y) = e−j (x+j y) = e(y−j x) = ey(cos(−x)+j sin(−x)) = e

y (cos x − j sin x).

Potom Re f(z) = e

y cos x a Im f(z) = −e

y sin x.

Příklad 4.2.2. Vypočítejte hodnoty následujících výrazů, v části d) až h) hlavní hodnoty
výrazů

a

) e1+j π

b

) ej

π

2

c

) ln(ej

π

3

)

d

) ln(1 + j )

e

) ln(−1)

f

) (−1)j

g

) j j

h

) j π

Řešení: a) e1+j π = e(cos π + j sin π) = −e.

b) ej

π

2

= (cos

π

2

+ j sin

π

2

) = j .

c) ln(ej

π

3

) = ln 1 + j

π

3

= j

π

3

.

d) 1 + j =

2(cos(

π

4

+ 2kπ) + j sin(

π

4

+ 2kπ)). Pak ln(1 + j ) = ln(

2) + j

π

4

.

e) −1 = 1(cos(π + 2kπ) + j sin(π + 2kπ)). Omezíme-li se na hlavní větev
logaritmu, bereme k = 0 a dostaneme, že ln(−1) = ln 1 + j π = j π.

f) (−1)

j = ej ln(−1) = ej ln(cosπ+j sinπ) = ejjπ = e−π.

g) j j = ej ln j = ej (ln 1+j

π

2 )

= e−

π

2

.

h) j π = eπ ln j = eπj

π

2

= ej

π2

2

= cos

π2

2

+ j sin

π2

2

.

Příklad 4.2.3. Vyjádřete cos2 ϕ a sin2 ϕ pomocí komplexních goniometrických funkcí
argumentu 2ϕ.

Řešení: Nejdřív spočítáme cos2 ϕ :

cos2 ϕ =

ej ϕ

+ e−j ϕ

2

4

=

e2j ϕ

+ 2 + e−2j ϕ

4

=

1 + e

2j

ϕ+e−2j ϕ

2

2

=

1 + cos 2ϕ

Témata, do kterých materiál patří