BMA2 - Sbírka
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
hlavní hodnotu mocninné funkce.
MATEMATIKA 2 – Sbírka úloh
37
Příklad 4.2.1. Určete reálnou a imaginární část funkce f(z)
a
) f(z) = (z + j )2
b
) f(z) = e−j z
Řešení: a) f(x+j y) = (x + j y + j )2 = (x + j (y + 1))2 = x2 + 2j x(y + 1) − (y + 1)
2 =
x2
− y
2 − 2y − 1 + j 2(xy + x).
Z toho píšeme, že Re f(z) = x
2 − y2 − 2y − 1 a Im f(z) = 2xy + 2x.
b) f(x+j y) = e−j (x+j y) = e(y−j x) = ey(cos(−x)+j sin(−x)) = e
y (cos x − j sin x).
Potom Re f(z) = e
y cos x a Im f(z) = −e
y sin x.
Příklad 4.2.2. Vypočítejte hodnoty následujících výrazů, v části d) až h) hlavní hodnoty
výrazů
a
) e1+j π
b
) ej
π
2
c
) ln(ej
π
3
)
d
) ln(1 + j )
e
) ln(−1)
f
) (−1)j
g
) j j
h
) j π
Řešení: a) e1+j π = e(cos π + j sin π) = −e.
b) ej
π
2
= (cos
π
2
+ j sin
π
2
) = j .
c) ln(ej
π
3
) = ln 1 + j
π
3
= j
π
3
.
d) 1 + j =
√
2(cos(
π
4
+ 2kπ) + j sin(
π
4
+ 2kπ)). Pak ln(1 + j ) = ln(
√
2) + j
π
4
.
e) −1 = 1(cos(π + 2kπ) + j sin(π + 2kπ)). Omezíme-li se na hlavní větev
logaritmu, bereme k = 0 a dostaneme, že ln(−1) = ln 1 + j π = j π.
f) (−1)
j = ej ln(−1) = ej ln(cosπ+j sinπ) = ejjπ = e−π.
g) j j = ej ln j = ej (ln 1+j
π
2 )
= e−
π
2
.
h) j π = eπ ln j = eπj
π
2
= ej
π2
2
= cos
π2
2
+ j sin
π2
2
.
Příklad 4.2.3. Vyjádřete cos2 ϕ a sin2 ϕ pomocí komplexních goniometrických funkcí
argumentu 2ϕ.
Řešení: Nejdřív spočítáme cos2 ϕ :
cos2 ϕ =
ej ϕ
+ e−j ϕ
2
4
=
e2j ϕ
+ 2 + e−2j ϕ
4
=
1 + e
2j
ϕ+e−2j ϕ
2
2
=
1 + cos 2ϕ