BMA2 - Sbírka

MATEMATIKA 2 – Sbírka úloh

31

Příklad 3.2.3. Je dán elektrický LC obvod, kde cívka o indukčnosti L = 10 H má velmi
malý ohmický odpor. Do série k ní je zařazen kondenzátor o kapacitě C = 0.1 F a zdroj,
jehož napětí lineárně roste s časem podle vztahu E = 10t. Určete závislost proudu tekou-
cího obvodem na čase, je-li I(0) = 0 a kondenzátor byl v čase t = 0 vybit.

Řešení: Pro tento obvod platí

L

dI

dt

+

1

C

Z

t

0

I

(τ) dτ = E.

Po derivování a dosazení dostaneme lineární diferenciální rovnici druhého řádu

10

d2I

dt2

+ 10I = 10.

Obecné řešení této rovnice je I(t) = C1 cos t + C2 sin t + 1.
Partikulární řešení splňující dané počáteční podmínky I(0) = 0 a I′(0) = 0
určíme z I(0) = C1 + 1 = 0, I′(t) = −C1 sin t + C2 cos t a I′(0) = C2 = 0.

Řešení úlohy tedy je

I

(t) = 1 − cos t.

Přestože napětí neomezeně roste, zůstává proud v takovém obvodu omezený.

Příklad 3.2.4. Principem superpozice vyřešte lineární diferenciální rovnici druhého řádu
y′′

+ y′ = 5x + 2ex.

Řešení:

Kořeny charakteristické rovnice λ2 + λ = 0 jsou λ1 = 0, λ2 = −1

a yh = C1 + C2 e−x.
Partikulární řešení dostaneme jako součet partikulárních řešení dvou rovnic,
které mají speciální pravé strany: y′′ + y′ = 5x a y′′ + y′ = 2ex.
U první rovnice je pravá strana tvaru

f1(x) = 5x = e

0x 5x = e0x P1(x).

Zde α = 0 je jednoduchý kořen charakteristické rovnice, a proto k = 1.
Potom

Y1 = e0

x x1

(Ax+B) = Ax2 +Bx,

Y ′1 = 2Ax+B,

Y ′′

1 = 2A a po dosazení

do rovnice Y ′′

1 + Y

′

1 = 5x máme 2A + 2Ax + B = 5x.

Porovnáme koeficienty: