BMA2 - Sbírka
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
λ1 = 0 a λ2 = 4. Potom y1 = e0
x
= 1, y2 = e4x a y = C1 + C2 e4x.
Spočítáme y′ = 4 C2 e4x a dosadíme počáteční podmínky
3 = y(0) = C1 + C2, 8 = y′(0) = 4 C2. Řešením této soustavy rovnic je
C1 = 1, C2 = 2. Z toho partikulární řešení bude y = 1 + 2 e4
x.
b) Charakteristická rovnice λ2−2λ+2 = 0 má komplexní kořeny λ1,2 = 1±i.
Potom
y1 = e
x
cos x,
y2 = e
x
sin x a y = C1 ex cos x + C2 ex sin x.
Z toho y′ = C1 ex cos x − C1 ex sin x + C2 ex sin x + C2 ex cos x.
Po dosazení podmínek dostaneme soustavu C1 = 0, C1 + C2 = 2.
Pak C1 = 0, C2 = 2 a hledané řešení bude y = 2 ex sin x.
Příklad 3.1.3. Najděte obecné řešení rovnic druhého řádu
a
) y′′ − 5y′ + 6y = 0
b
) y′′ − 4y′ + 4y = 0
c
) y′′ − y = 0
d
) y′′ − 4y′ + 5y = 0
e
) y′′ + 2y′ + 10y = 0
f
) y′′ + 2y = 0
Řešení:
a) y = C1 e2x + C2 e3x;
b) y = C1 e2x + C2 xe2x;
c) y = C1 ex + C2 e−x;
d) y = C1 e2x cos x + C2 e2x sin x;
e) y = C1 e−x cos 3x + C2 e−x sin 3x;
f) y = C1 cos
√
2x + C2 sin
√
2x.
Příklad 3.1.4. Najděte řešení Cauchyho úlohy
a
) y′′ − 4y′ + 3y = 0, y(0) = 6, y′(0) = 10
b
) 4y′′ + y = 0, y(0) = 1, y′(0) = 1
c
) y′′ − 6y′ + 13y = 0, y(0) = 2, y′(0) = 6
Řešení:
a) y = 4 ex + 2 e3x;
b) y = cos x
2 + 2 sin
x
2 ;
c) y = 2e3x cos 2x.
26
Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
3.2
Nehomogenní diferenciální rovnice vyššího řádu