BMA2 - Sbírka

y′

+ f(x) · y = 0.

Toto řešení se upraví na tvar y = C · F (x). Potom se předpokládá, že C = C(x), tj.

konstanta závisí na x, a řešení lineární rovnice hledáme ve tvaru

y

= C(x) · F (x).

Předpokládaný tvar řešení se dosadí do diferenciální rovnice (LR). Vznikne rovnice
typu C′(x) = φ(x). Z toho se vypočítá konkrétní funkce C(x).

Příklad 2.3.1. Řešte lineární diferenciální rovnici y′ + 2xy = e−x

2

.

Řešení: Nejdřív vyřešíme homogenní rovnici y′ + 2xy = 0 :

y′

= −2xy;

dy
dx

= −2xy;

1
y

dy = −2x dx;

Z

1
y

dy =

Z

−2x dx; ln |y| = −x

2+c.

Potřebujeme vyjádřit y, a proto musíme dál upravovat:

|y| = e−

x2

+c; |y| = e−x

2

· e

c;

y

= C · e−

x2 ,

kde C = ±e

c.

Našli jsme obecné řešení lineární homogenní rovnice y′ + 2xy = 0. Obecné
řešení lineární nehomogenní rovnice budeme hledat ve tvaru y = C(x) · e−x

2

.

Abychom mohli určit C(x), musíme dosadit do diferenciální rovnice, a k tomu
musíme nejdřív y derivovat.

y

= C(x) · e−

x2 ;

y′

= C′(x) · e−

x2 + C(x) · e−x

2

· (−2x).

Po dosazení dostaneme podmínku pro C′(x) :

C′

(x) · e−

x2 + C(x) · e−x

2 (−2x) + 2x · C(x) · e−x2 = e−x2.

C′

(x) · e−

x2 = e−x

2 ; C′(x) = 1.

Z toho integrováním dostaneme, že C(x) = R 1 dx = x + K.
Zbývá už jenom dosadit za C(x). Hledané obecné řešení bude

y

= C(x) · e−

x2 = (x + K) · e−x

2 = K · e−x2 + x · e−x2.

20

Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně

Příklad 2.3.2. Řešte lineární diferenciální rovnici y′ −

xy

1 + x2

= x,

y

(0) = 2.

Řešení: y′ =

xy

1 + x2

;

Z

1
y

dy =

1
2

Z

2x

1 + x2

dx.

ln |y| = 1

2 ln(1 + x