BMA2 - Sbírka

Řešení:

Integrální křivka procházející daným bodem je partikulární řešení

splňující počáteční podmínku y(0) = 1.

y′

= tg x ⇒ y =

Z

tg x dx =

Z

sin x

cos x

dx = −

Z

(− sin x)

cos x

dx =

= −

Z

(cos x)′

cos x

dx = − ln | cos x| + C.

Obecné řešení je y = − ln | cos x| + C, x 6= π

2 + kπ, k celé.

Dále 1 = y(0) = − ln | cos 0| + C = 0 + C. Dostali jsme, že C = 1.
Potom hledané řešení je y = 1 − ln | cos x|.

16

Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně

Příklad 2.1.4. Ukažte, že funkce y = C1 + C2 x + C3 e3x je obecné řešení rovnice
y′′′

− 3 y′′ = 0, a najděte partikulární řešení, pro které y(0) = 3, y′(0) = 6, y′′(0) = 18.

Řešení: y′ = C2 + 3 C3 e3x, y′′ = 9 C3 e3x, y′′′ = 27 C3 e3x.
Po dosazení y′′′ − 3 y′′ = 27 C3 e3x − 3 · 9 C3 e3x = 0.
Dále 3 = y(0) = C1 + C3, 6 = y′(0) = C2 + 3 C3, 18 = y′′(0) = 9 C3.
Řešíme soustavu rovnic: C1 + C3 = 3, C2 + 3 C3 = 6, 9 C3 = 18.
Z toho C1 = 1, C2 = 0, C3 = 2. Hledané partikulární řešení je y = 1 + 2 e3x.

Příklad 2.1.5. Ukažte, že funkce y = C1 (x2 + 1) + C2 (x + (x2 + 1) arctg x) je obecné
řešení rovnice (x2 + 1) y′′ − 2y = 0, a najděte partikulární řešení této rovnice, pro které

platí y(0) = 1, y′(0) = 0.

Řešení: y′ = C1·2x+C2

1 + 2x arctg x + x

2+1

x2

+1

= C1·2x+C2(2+2x arctg x),

y′′

= 2C1 + C2 2 arctg x + 2x

x2

+1

 .

Po dosazení dostaneme:

(x2 + 1) y′′ − 2y =

2(x2+1)C1+C2 2 x2 + 1 arctg x + 2x−2C1(x