BMA2 - Sbírka

y

= C sin x.

Příklad 2.2.4. Najděte partikulární řešení separovatelné diferenciální rovnice

(1 + ex) y y′ = ex,

y

(0) =

√

2.

Řešení: 1.) (1 + ex) y

dy
dx

= ex;

2.) (1 + ex) y dy = ex dx;

3.) y dy =

ex

(1 + ex)

dx;

4.)

Z

y

dy =

Z

ex

(1 + ex)

dx.

Dostali jsme obecné řešení ve tvaru y

2

2 = ln(1 + e

x

) + C.

Hledáme partikulární řešení:

√

2

2

2

= ln(1 + e0) + C.

Potom C = 1 − ln 2.

Partikulární řešení je

y2

2

= ln(1 + ex) + 1 − ln 2.

Po úpravě y =

p2 ln(1 + ex) + 2 − ln 4.

Příklad 2.2.5. Řešte separovatelné diferenciální rovnice

a

) x y y′ = 1 − x2

b

) y′ = y tg x

c

) y′ +

√

1−y2

√

1−x2

= 0

d

) y′ = (y − 1)(y − 2)

e

) y′ = ex+y

f

) (xy2 + x) dx + (y − x2y) dy = 0

Řešení:

a) y

2

2 = ln |x| −

x2

2 + c, po úpravě x

2

+ y2 = ln Cx2, C > 0;

b) y = C

cos x ;

c) C = arcsin x+ arcsin y, y = 1, y = −1;

d) integrál dle dy počítejte rozkladem na parciální zlomky.
Řešení je ln |

y

−2

y

−1 | =

x

+c. Po úpravě y −2 = Cex(y −1). Další řešení je y = 1;

e)Využijte vztah ex+y = exey a e−y = 1

ey . Řešení bude e

x

+ e−y = C;

f) 1

2 ln(y

2

+ 1) = 1

2 ln |x

2 − 1| + c. Po úpravě y2 + 1 = C(x2 − 1).

MATEMATIKA 2 – Sbírka úloh

19

2.3

Lineární diferenciální rovnice prvního řádu

Lineární diferenciální rovnice prvního řádu

— rovnice, která se dá upravit na tvar

y′

+ f(x) · y = g(x).

(LR)

Homogenní lineární dif. rovnice prvního řádu

— rovnice tvaru y′ + f(x) · y = 0.

Metoda variace konstanty

— metoda na řešení nehomogenní lineární diferenciální

rovnice 1. řádu, při které se nejdřív metodou separace proměnných najde řešení
homogenní rovnice