BMA2 - Sbírka

3.1

Homogenní diferenciální rovnice vyššího řádu

Homogenní lineární dif. rovnice n-tého řádu s konstantními koeficienty

— rov-

nice, která má tvar

any

(n) + a

n

−1y

(n−1) + . . . + a1y′ + a0y = 0, a0, . . . , an ∈ R, an 6= 0.

Fundamentální systém řešení homogenní dif. rovnice n-tého řádu

— n lineárně

nezávislých partikulárních řešení příslušné rovnice

Charakteristická rovnice

— rovnice, která vznikne při hledání partikulárních řešení

homogenní rovnice ve tvaru eλx

K nalezení obecného řešení homogenní lineární diferenciální rovnice n-tého řádu s kon-
stantními koeficienty je třeba vyřešit příslušnou charakteristickou rovnici

anλ

n + an−1λn−

1 + . . . + a1λ + a0 = 0.

Jde o algebraickou rovnici, která má n kořenů. Ke každému nalezenému kořenu se přiřadí
jedno partikulární řešení a tak se dostane celý fundamentální systém. Na příkladu rovnice
druhého řádu ukážeme jak toto přiřazení provést.
Charakteristická rovnice homogenní lineární diferenciální rovnice 2. řádu je rovnice a2λ2+
a1λ + a0 = 0. Tuto rovnici vyřešíme (pomocí vzorce pro kvadratickou rovnici). Mohou
nastat tři případy (v závislosti na diskriminantu):

24

Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně

1. Diskriminant je kladný, rovnice má dva navzájem různé reálné kořeny λ1 6= λ2.

Potom fundamentální systém rovnice je

y1 = e

λ1x, y2 = eλ2x.

2. Diskriminant je nulový, rovnice má dvojnásobný reálný kořen λ = λ1 = λ2. Potom

fundamentální systém rovnice je

y1 = e

λx, y2 = xeλx.

3. Diskriminant je záporný, rovnice má dva komplexně sdružené kořeny λ1,2 = α + iβ,

kde i označuje komplexní jednotku. Hledá se reálné řešení, a proto se zvolí (vzhledem
k platnosti Eulerovy identity eiβx = cos βx + i sin βx) fundamentální systém: