BMA2 - Sbírka
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
2
) + c = ln
√
1 + x2 + c, potom y = C ·
√
1 + x2.
Variace konstanty: y = C(x)·
√
1 + x2;
y′
= C′(x)·
√
1 + x2 +C(x)·
x
√
1 + x2
.
Po dosazení: C′(x)
√
1 + x2 = x; C′(x) =
x
√
1 + x2
; C(x) =
Z
x
√
1 + x2
dx.
Substituce 1 + x2 = t2 vede na C(x) =
√
1 + x2 + K.
Obecné řešení dané rovnice je y = K ·
√
1 + x2 + x2 + 1.
Dosadíme počáteční podmínku: 2 = y(0) = K ·
√
1 + 1 = K + 1.
Z toho K = 1 a hledané partikulární řešení bude y =
√
1 + x2 + x2 + 1.
Příklad 2.3.3. Najděte obecné řešení rovnice xy′ + y − e
x = 0.
Řešení: Rovnice není ve tvaru lineární diferenciální rovnice. Nejdřív ji mu-
síme upravit. Převedeme ex na pravou stranu a pak celou rovnici vydělíme x.
Dostaneme
y′
+
y
x
=
ex
x
.
Tato rovnice už je ve tvaru (LR) a vyřešíme ji metodou variace konstanty.
y′
+
y
x
= 0; y′ = −
y
x
;
Z
1
y
dy = −
Z
1
x
dx; ln |y| = − ln |x| + c; y =
C
x
.
Variace konstanty: y =
C
(x)
x
;
y′
=
C′
(x) · x − C(x)
x2
.
Po dosazení:
C′
(x)
x
=
ex
x
;
C′
(x) = ex;
C
(x) = ex + K. Pak y =
ex
+ K
x
.
Příklad 2.3.4. Je dán elektrický RL obvod s cívkou o samoindukčnosti L, ohmickým
odporem R a napětím E. Dle Kirchhoffova zákona závislost proudu I na čase t vyjadřuje
diferenciální rovnice
L
dI
dt
+ IR = E.
Najděte vzorec pro řešení I(t), jestliže víte, že na počátku byl proud nulový.
Řešení: Rovnici upravíme na tvar
dI
dt
+
R
L
I
=
E
L
a řešíme jako (LR):
dI
dt
+
R
L
I
= 0,
dI
dt
= −
IR
L
,
1
I
dI = −
R
L
dt,
Z
1
I
dI = −
Z
R
L
dt.
Řešení homogenní rovnice bude ln |I| = −
R
L
t
+ c
⇒
I
= C e−
R
L t
.
MATEMATIKA 2 – Sbírka úloh
21
Variace konstanty: I = C(t) e−
R
L t
,
I′