BMA2 - Sbírka

Může se stát, že diferenciální rovnice nemá žádné řešení. Diferenciální rovnice, s nimiž se
zde setkáte, řešení mají. Obecné podmínky pro existenci řešení najdete v Matematice 2.

MATEMATIKA 2 – Sbírka úloh

15

Příklad 2.1.1. Najděte obecné řešení diferenciální rovnice y′′′ = 18 e3x + sin x.

Řešení:

Je to obyčejná diferenciální rovnice třetího řádu, velmi speciální,

protože pravá strana závisí pouze na x. Řešení dostaneme postupným integro-
váním.

y′′′

= 18 e3x + sin x

⇒

y′′

= R (18 e3x + sin x) dx = 6 e3x − cos x + C1,

y′

= R (6 e3x − cos x + C1) dx = 2 e3x − sin x + C1x + C2.

A konečně obecné řešení bude

y

=

Z

(2 e3x − sin x + C1x + C2) dx =

2
3

e3

x + cos x +

C1

2

x2

+ C2x + C3.

Protože šlo o rovnici třetího řádu, jsou v obecném řešení tři parametry. Do-
sazením konkrétních hodnot za konstanty C1, C2, C3 se dostanou partikulární
řešení této rovnice.

Příklad 2.1.2. Najděte partikulární řešení diferenciální rovnice y′′ = 12 x3 + 8, které
splňuje počáteční podmínky y(0) = 0, y′(0) = 1.

Řešení: Je li y′′ = 12 x3 + 8, potom y′ = R (12 x3 + 8) dx = 3 x4 + 8 x + C1.
Obecné řešení bude y = R (3 x4 + 8x + C1) dx = 3

5 x

5

+ 4 x2 + C1x + C2.

Konstanty budeme počítat dosazením počátečních podmínek do y a y′ :

0 = y(0) =

3
5

05 + 4 · 0

2 + C10 + C2 = C2; 1 = y′(0) = 3 · 04 + 8 · 0 + C1 = C1.

Z této soustavy rovnic dostaneme C1 = 1, C2 = 0.

Hledané partikulární řešení je y =

3
5

x5

+ 4x2 + x.

Příklad 2.1.3. Najděte integrální křivku rovnice y′ = tg x, která prochází bodem [0,1].