BMA2 - Sbírka
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
11
Příklad 1.2.3. Zjistěte, zda funkce z = x4 + y4 − 2x2 − 4xy − 2y2 má lokální extrémy v
bodech A = [
√
2,
√
2] a B = [−
√
2, −
√
2].
Řešení:
∂z
∂x
= 4x3 − 4x − 4y,
∂z
∂y
= 4y3 − 4x − 4y.
Dosadíme bod A = [
√
2,
√
2] :
∂z
∂x
(A) = 4 · 2
√
2 − 4
√
2 − 4
√
2 = 0,
a
∂z
∂y
(A) = 4 · 2
√
2 − 4
√
2 − 4
√
2 = 0. Bod A = [
√
2,
√
2] je stacinární bod.
Podobně můžeme dosadit i bod B = [−
√
2, −
√
2] do prvních parciálních deri-
vací a ukázat, že i bod B je stacionární bod.
Druhé parciální derivace funkce jsou
∂2z
∂x2
= 12x2 − 4,
∂2z
∂y2
= 12y2 − 4,
∂2z
∂x∂y
= −4. Tedy D = (12x
2 − 4)(12y2 − 4) − (−4)2.
V bodě A = [
√
2,
√
2] máme
∂2z
∂x2
(A) = 20 a D(A) = 400 − 16 > 0. Funkce
má v bodě A = [
√
2,
√
2] lokální minimum.
V bodě B = [−
√
2, −
√
2] máme také
∂2z
∂x2
(B) = 20 a D(B) = 400 − 16 > 0.
Funkce má i v bodě B = [−
√
2, −
√
2] lokální minimum.
Příklad 1.2.4. Najděte lokální extrémy následujících funkcí z = f(x, y)
(a) z = x2 − xy + y2 − 2y + 1
(b) z = x + y + 1
xy
(c) z = 2x3 + 3x2 + y3 − 3y − 12x
(d) z = 2x3 + xy2 − 216x
(e) z = x2 − 2xy + 2y2 + 4x
(f) z = 8
x +
x
y + y
(g) z = x4 + 8x2 + y2 − 4y
(h) z = 12xy − x3 − y3
(i) z = x2 + xy − 3y2 + y + x − 1
(j) z = 5xy + 25
x +
8
y
Řešení: (a) gradf = (2x − y, −x + 2y − 2) = (0, 0) ⇒ T = [2
3 ,
4
3 ] stacionární
bod. Dále f′′
xx = 2,
f ′′
yy = 2,
f ′′
xy =
−1 a D(T ) = 2 · 2 − (−1)