BMA2 - Sbírka

) f(x, y) = ln(x2 + y2)

e

) f(x, y, z) = xyz − 3x + 7y + 5z

f

) f(x, y, z) = ln

 y z2

x

Řešení: a) Nejdříve spočítáme parciální derivace prvního řádu dané funkce:

∂f
∂x

= ey,

∂f

∂y

= x ey.

Potom

∂2f
∂x2

= 0,

∂f 2

∂y2

= x ey,

∂f 2

∂x∂y

=

∂f 2

∂y∂x

= ey.

b) f′′

xx =

2y2

(x−y)3

, f ′′

xy =

−

2xy

(x−y)3

, f ′′

yy =

2x2

(x−y)3 ;

c) f′′

xx =

− cos(x − y),

f ′′

xy = 1 + cos(x

− y), f′′yy = − cos(x − y);

d) f′′

xx =

2y2−2x

2

(x2+y2)2 , f

′′

xy =

−4xy

(x2+y2)2 ,

f ′′

yy =

2x2−2y

2

(x2+y2)2 ;

e) f′′

xx = 0, f

′′

yy = 0, f

′′

zz = 0, f

′′

xy = z, f

′′

xz = y, f

′′

yz = x;

f) f′′

xx =

1

x2 , f

′′

yy =

−

1

y2 , f

′′

zz =

−

2

z2 , f

′′

xy = 0, f

′′

xz = 0, f

′′

yz = 0.

Příklad 1.1.15. Dokažte, že funkce z = ex(x cos y − y sin y) vyhovuje diferenciální rov-

nici z′′

xx + z

′′

yy = 0.

Příklad 1.1.16. Dokažte, že funkce z = arctg(2x − y) vyhovuje diferenciální rovnici
z′′

xx + 2z

′′

xy = 0.

Příklad 1.1.17. Dokažte, že funkce f(x, y) =

xy

x

− y

vyhovuje diferenciální rovnici

f ′′

xx + 2f

′′

xy + f

′′

yy =

2

x

− y

.

Příklad 1.1.18. Dokažte, že funkce u =

1

px2 + y2 + z2

vyhovuje diferenciální rovnici

u′′

xx + u

′′

yy + u

′′

zz = 0.

Příklad 1.1.19. Najděte z

(4)

xxxy

kde z = y ln(xy).

Řešení:

z′

x = y

1

xy

y

=

y
x

,

z′′

xx =

−

y

x2

,

z′′′

xxx =

2y

x3

⇒

z(4)

xxxy =

2

x3

.

Příklad 1.1.20. Najděte z′′′

xyy kde

z

= ln(x2 + y2).

Řešení:

z′′′

xyy =

4x(3y2−x

2)

(x2+y2)2 .

Příklad 1.1.21. Dokažte, že funkce

z

= x ey + y ex vyhovuje diferenciální rovnici

z′′′

xxx + z

′′′

yyy = xz

′′′

xyy + yz

′′′

xxy .

MATEMATIKA 2 – Sbírka úloh

9

1.2

Lokální extrémy funkce dvou proměnných