BMA2 - Sbírka

′

xj . Je to par-

ciální derivace funkce f′

xi (x1, . . . , xn), podle proměnné xj . Značíme také

∂f 2

∂xi∂xj

.

Gradient funkce f v bodě A

— vektor gradf(A) = (f′

x1 (A), . . . , f

′

xn (A)). Značíme

také ∇f(A). Je to směr, ve kterém funkce nejrychleji roste.

4

Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně

Poznámka.

Při počítání parciálních derivací f′

xi považujeme za proměnnou pouze xi,

na ostatní proměnné se díváme jako na konstanty. Pro výpočet parciálních derivací platí
pravidla o derivování součtu, součinu a podílu funkcí.

Poznámka.

Můžeme počítat i parciální derivace vyšších řádů. Parciální derivace n -

tého řádu je parciální derivace funkce, která sama vznikla jako (n − 1)-ní derivace. Při

počítání parciálních derivací vyšších řádů nezáleží na pořadí, v jakém počítáme derivace
podle jednotlivých proměnných, jsou-li tyto derivace spojité.

Tečná rovina k ploše

Tak jako u funkce jedné proměnné jsme mohli využít derivaci v bodě k zapsání tečny v
tomto bodě, můžeme využít parciálních derivací při hledání tečné roviny k ploše. Někdy
se jedná o plochu, která je grafem funkce dvou proměnných z = f(x, y). V tomto případě
říkáme, že plocha je daná explicitně. Někdy z rovnice plochy neumíme vyjádřit proměnnou
z,

například u kulové plochy. V tomto případě říkáme, že plocha je daná implicitně.

Rovnice tečné roviny ρ

k ploše z = f(x, y) v bodě T = [x0, y0, z0 = f(x0, y0)] :

ρ

:

∂f
∂x

(T )(x − x0) +

∂f

∂y

(T )(y − y0) − (z − z0) = 0.

Tečná rovina k ploše dané implicitně

rovnicí F (x, y, z) = 0 v bodě T = [x0, y0, z0],

pro který platí F (x0, y0, z0) = 0, má rovnici: