BMA2 - Sbírka

T

= [?, 1, 1]

(e) z = 2x2 − 4y2,

T

= [2, 1, ?]

Řešení: a) Nejdříve spočítáme třetí souřadnici bodu T. Bod leží na ploše, a
proto z0 = f(2, −1) = 1. Dále

∂z

∂x

= x,

∂z

∂x

(T ) = 2;

∂z
∂y

= −2y,

∂z
∂y

(T ) = 2.

Rovnice tečné roviny ρ k ploše z = x

2

2 − y

2

v bodě T=[2, -1,1]:

ρ

: 2(x − 2) + 2(y + 1) − (z − 1) = 0.

Po úpravě dostaneme rovnici tečné roviny ρ : 2x + 2y − z − 1 = 0.
b) Plocha je daná implicitně. Bod T leží na dané ploše, protože souřadnice
tohoto bodu splňují rovnici plochy: 1 + 8 − 1 − 2 − 6 = 0. Spočítáme parciální

derivace funkce F (x, y, z) = x3 + y3 + z3 + xyz − 6 :

F ′

x = 3x

2+yz, F ′

y = 3y

2+xz, F ′

z = 3z

2+xy; F ′

x(T ) = 1, F

′

y (T ) = 11, F

′

z (T ) = 5.

Potom

ρ

: 1(x − 1) + 11(y − 2) + 5(z + 1) = 0.

Po úpravě dostaneme rovnici tečné roviny ρ : x + 11y + 5z − 18 = 0.
c) T = [3, 4, −7] a ρ : 17x + 11y + 5z − 60 = 0; d) 3x4 − 4 + 4x − 4x + 1 = 0
⇒ 3x

4

= 3 ⇒ x = 1 anebo x = −1 ⇒ T1 = [1, 1, 1] a ρ1 : 3x − 2y −

2z + 1 = 0 a také T2 = [−1, 1, 1] a ρ2 : 3x + 4y − 1 = 0; e) T = [2, 1, 4] a
ρ

: 8x − 8y − z − 4 = 0.

8

Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně

Příklad 1.1.14. Najděte všechny parciální derivace druhého řádu funkce f podle jed-
notlivých proměnných

a

) f(x, y) = x ey

b

) f(x, y) = x + y + xy

x

−y

c

) f(x, y) = xy + cos(x − y)

d