BMA2 - Sbírka

√

6].

D

(C) = 4 (3 · 36) > 0, f′′

xx(C ) > 0

⇒ v C = [6, 0] lokální minimum.

D

(D) = 4 (3 · 36) > 0, f′′

xx(D) < 0

⇒ v D = [−6, 0] lokální maximum.

e) minimum −8 v [−4, −2], f) minimum 5 v [4, 2], g) minimum −4 v [0, 2],
h) minimum 64 v [4, 4], i) nemá extrémy, j) minimum 30 v [5

2 ,

4
5 ].

Příklad 1.2.5. Najděte rozměry balíku tak, aby jeho kombinovaná délka, tzn. obvod pod-
stavy plus výška, byla nanajvýš 108 cm a zároveň měl maximální objem.

Řešení:

Rozměry podstavy balíku označíme x, y a výšku z. Chceme aby

objem byl maximální, a tak můžeme předpokládat, že kombinovaná délka je
2x + 2y + z = 108. Z toho z = 108 − 2x − 2y. Balík je kvádr a proto jeho

objem je V = xyz = xy(108 − 2x − 2y). Navíc musí platit, že x, y, z > 0.
Hledáme maximum funkce f(x, y) = xy(108−2x−2y) = 108xy −2x2y −2y2x.

gradf

= (108y − 4xy − 2y

2, 108x − 2x2 − 4xy) = (0, 0) ⇒ x = y.

Stacionární body řeší rovnici 108x − 6x2 = 0.
Máme 6x(18 − x) = 0 ⇒ x = 0 nebo x = 18. Ale délka podstavy nemůže být

0. Zajímá nás jediný stacionární bod A = [18, 18]. Vypočítáme druhé parciální
derivace:

∂2f
∂x2

= −4y,

∂2f

∂x∂y

= 108 − 4x − 4y,

∂2f

∂y2

= −4x.

MATEMATIKA 2 – Sbírka úloh

13

V bodě A = [18, 18] máme f′′

xx(A) =

−4 · 18, f′′xy(A) = −36, f′′yy(A) = −4 · 18.

D

(A) = 36 · 182 − 4 · 182 > 0. Funkce má v bodě A lokální maximum.

Rozměry hledaného balíku budou x = 18 cm, y = 18 cm a výška z = 36 cm.

Příklad 1.2.6. Najděte rozměry otevřené obdélníkové krabice o objemu 1 m3 tak, aby její
povrch byl minimální.