BMA2 - Sbírka
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
Hledáme stacionární body – body, ve kterých má funkce nulový
gradient:
gradf
= (3x2 − 3y, 3y
2 − 3x) = 0 ⇒
3x2 − 3y = 0 ⇒ y = x2,
3y2 − 3x = 0 ⇒ x = y2.
10
Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
Po dosazení za y do druhé rovnice máme
x
= x4 ⇔ x(x
3 − 1) = 0.
Potom x = 0 nebo x = 1. Dopočítáme příslušné hodnoty y a dostáváme dva
stacionární body A = [0, 0], B = [1, 1].
Vypočítáme druhé parciální derivace funkce:
∂2f
∂x2
= 6x,
∂2f
∂x∂y
= −3,
∂2f
∂y2
= 6y.
V bodě A = [0, 0] máme
∂2f
∂x2
(A) = 0,
∂2f
∂x∂y
(A) = −3,
∂2f
∂y2
(A) = 0.
Potom D(A) = 0·0−(−3)2 = −9 < 0. Funkce nemá v bodě A lokální extrém.
Teď vyšetříme bod B = [1, 1] :
∂2f
∂x2
(B) = 6,
∂2f
∂x∂y
(B) = −3,
∂2f
∂y2
(B) = 6.
Z toho D(B) = 6 · 6 − (−3)2 = 27 > 0, a funkce má v bodě B lokální extrém.
Vidíme, že
∂2f
∂x2
(B) = 6 > 0. V bodě B nastane minimum.
Ještě spočítáme hodnotu funkce v tomto bodě: f(B) = 1 + 1 − 3 = −1.
Příklad 1.2.2. Najděte lokální extrémy funkce f(x, y) = e−x
2−y2.
Řešení:
gradf
=
e−
x2
−y
2 (−2x), e−x2−y2(−2y)
= (0, 0) ⇒
x
= 0,
y
= 0.
Bod A = [0, 0] je jediný stacionární bod. Vypočítáme druhé parciální derivace:
∂2f
∂x2
= 2e−x
2−y2(2x2 − 1),
∂2f
∂x∂y
= 4xy e−x
2−y2,
∂2f
∂y2
= 2e−x
2−y2(2y2 − 1).
V bodě A = [0, 0] máme
∂2f
∂x2
(A) = −2,
∂2f
∂x∂y
(A) = 0,
∂2f
∂y2
(A) = −2.
D
(A) = −2 · (−2) = 4 > 0
a zároveň
∂2f
∂x2
= −2.
Funkce má v bodě A = [0, 0]
lokální maximum; f(A) = 1.
Na obrázku je graf funkce v
okolí stacinárního bodu.
f
(x, y) = e−x
2−y2
MATEMATIKA 2 – Sbírka úloh