BMA2 - Sbírka
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
2, u′
y =
−2yw + 5zw, u′z = −2zw
2
+ 5yw,
u′
w =
−y
2 − 2z2w + 5yz.
Příklad 1.1.9. Dokažte, že funkce u = x +
x
− y
y
− z
vyhovuje rovnici
∂u
∂x
+
∂u
∂y
+
∂u
∂z
= 1.
Příklad 1.1.10. Najděte parciální derivace funkce f v bodě A podle všech proměnných
a) f(x, y) =
x
+ y
x
− y
,
A
= [3, 2]
b) f(x, y, z) = ln(x2 + y2 + z2),
A
= [3, 2, 1]
c) f(x, y) =
x
y
+
y
x
,
A
= [1, 1]
d) f(x, y, z) =
x
y
+
y
z
−
z
x
,
A
= [1, 1, 1]
Řešení: a) f′
x(A) =
−4, f′y(A) = 6;
b) f′
x(A) =
3
7 , f
′
y (A) =
2
7 , f
′
z (A) =
1
7 ;
c) f′
x(A) = 0, f
′
y (A) = 0;
d) f′
x(A) = 2, f
′
y (A) = 0, f
′
z (A) =
−2.
Příklad 1.1.11. Najděte hodnotu součtu
∂u
∂x
+
∂u
∂y
+
∂u
∂z
v bodě A = [1, 1, 1] pro funkci
f
(x, y, z) = ln(1 + x + y2 + z3).
Řešení:
∂u
∂x
+
∂u
∂y
+
∂u
∂z
A
=
1
1 + x + y2 + z3
+
2y
1 + x + y2 + z3
+
3z2
1 + x + y2 + z3
A
=
3
2
.
MATEMATIKA 2 – Sbírka úloh
7
Příklad 1.1.12. Najděte gradient funkce f v bodě A
a) f(x, y) = x3 + y3 − 3xy, A = [2, 1]
b) f(x, y, z) = x ez+2y,
A
= [1, −1, 2]
c) f(x, y, z) =
x
x2
+ y2 + z2
,
A
= [1, 2, 2]
d) f(x, y, z) = xyz,
A
= [1, 2, 3]
Řešení: a)
∂f
∂x
A
= 3x2 − 3y
A
= 9,
∂f
∂y
A
= 3y2 − 3x
A
= −3.
Z toho gradient funkce v bodě A je vektor gradf(A) = (9, −3).
b)∇f(A) = (1, 2, 1);
c)∇f(A) = 1
81 (7, −4, −4);
d)∇f(A) = (6, 3, 2).
Příklad 1.1.13. Napište rovnici tečné roviny k následujícím plochám v bodě T = [x0, y0, z0]:
(a) z =
x2
2 −
y2,
T
= [2, −1, ?]
(b) x3 + y3 + z3 + xyz − 6 = 0,
T
= [1, 2, −1]
(c) z =
px2 + y2 − xy,
T
= [3, 4, ?]
(d) 3x4 − 4y3z + 4xyz2 − 4z3x + 1 = 0,