BMA2 - Sbírka

2

= 3 > 0.

Funkce má v bodě T lokální minimum 1

3 .

(b) gradf = (1 − 1

x2y , 1 −

1

xy2 ) = (0, 0) ⇒ T = [1, 1] jediný stacionární bod.

f ′′

xx =

2

x3y , f

′′

yy =

2

xy3 , f

′′

xy =

1

x2y2 ;

D

(T ) = 2 · 2 − 12 = 3 > 0, f′′

xx(T ) = 2 > 0.

Funkce má v bodě T = [1, 1] lokální minimum 3.

12

Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně

(c) gradf = (6x2 + 6x − 12, 3y2 − 3) = (0, 0) ⇒

(x + 2)(x − 1) = 0,
y2

= 1.

Potom x = −2 nebo x = 1 a y = −1 nebo y = 1.
Stacionární body jsou A = [−2, 1], B = [−2, −1], C = [1, 1] a D = [1, −1].
f ′′

xx = 12x + 6, f

′′

yy = 6y, f

′′

xy = 0 a D(x, y) = 36 y (2x + 1).

D

(A) = 36 (−3) < 0 ⇒ neexistuje extrém v bodě A = [−2, 1].

D

(B) = −36 (−3) > 0, f′′

xx(B) < 0

⇒ v B = [−2, −1] lokální maximum.

D

(C) = 36 (3) > 0, f′′

xx(C ) > 0

⇒ v C = [1, 1] lokální minimum.

D

(D) = −36 (3) < 0 ⇒ neexistuje extrém v bodě D = [1, −1].

(d) gradf = (6x2 +y2 −216, 2xy) = (0, 0). Z druhé rovnice x = 0 nebo y = 0.
Je-li x = 0 ⇒ y = ±

√

216 = ±6

√

6. Je-li y = 0 ⇒ x = ±6.

Stacionární body jsou A = [0, 6

√

6], B = [0, −6

√

6], C = [6, 0] a D = [−6, 0].

f ′′

xx = 12x, f

′′

yy = 2x, f

′′

xy = 2y

a D(x, y) = 4 (3x2 − y2).

D

(A) = 4 (−216) < 0 ⇒ neexistuje extrém v bodě A = [0, 6

√

6].

D

(B) = 4 (−216) < 0 ⇒ neexistuje extrém v bodě B = [0, −6