BMA2 - Sbírka

2+1)−2C2 x + x2 + 1 arctg x = 0.

Funkce řeší diferenciální rovnici. Dále dosadíme počáteční podmínky
1 = y(0) = C1 + C2 · 0 = 1 ⇒ C1 = 1,
0 = y′(0) = 2 · 0 · C1 + 2 C2 = 2 C2

⇒

C2 = 0.

Hledané partikulární řešení je y = x2 + 1.

Příklad 2.1.6. Ukažte, že funkce y = C1 cos x + C2 sin x + e2x je obecné řešení rovnice
y′′

+ y = 5 e2x, a najděte partikulární řešení, pro která platí

a

) y(0) = 6, y′(0) = 6

b

) y(0) = 1, y′(0) = −1

c

) y(0) = 3

2 , y

′

(0) = 5

2

d

) y(π

2 ) = e

π , y′

(π

2 ) = 2e

π − 1

Řešení: a) y = 5 cos x + 4 sin x + e2x;

b

) y = e2x − 3 sin x;

c

) y = 1

2 cos x +

1
2 sin x + e

2x

;

d

) y = cos x + e2x.

Příklad 2.1.7. Ukažte, že funkce y = C1ex + C2xex + C3e−2x je obecné řešení rovnice
y′′′

− 3y′ + 2y = 0, a najděte partikulární řešení rovnice, které splňuje počáteční podmínky

y

(0) = 0, y′(0) = 1, y′′(0) = 11.

Řešení: y = −ex + 4xex + e−2x

Další část této jednotky bude věnovaná diferenciálním rovnicím prvního řádu. Naučíte

se řešit dva typy rovnic prvního řádu.

MATEMATIKA 2 – Sbírka úloh

17

2.2

Separovatelné diferenciální rovnice

Separovatelná diferenciální rovnice

— rovnice, která se dá upravit na tvar

y′

= f(x) · g(y).

Pokud rozpoznáte separovatelnou rovnici postupujte při řešení následovně:

1. y′ nahraďte výrazem dy

dx ;

2. celou rovnici vynásobte dx;

3. odseparujte proměnné, tzn. členy, které obsahují y, převeďte na levou stranu rovnice

spolu s dy a členy, které obsahují x, převeďte na pravou stranu spolu s dx;

4. integrujte obě strany poslední rovnice.